В прямоугольном треугольнике, если точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см, то какова площадь этого треугольника?

Математика 10 класс Вписанная окружность и площадь треугольника прямоугольный треугольник вписанная окружность площадь треугольника гипотенуза длина отрезков задача по математике Новый

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, в котором известны длины отрезков гипотенузы, на которые делит её точка касания вписанной окружности, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Определим длину гипотенузы: Гипотенуза делится на два отрезка, длины которых равны 4 см и 3 см. Таким образом, полная длина гипотенузы (c) равна:
• c = 4 см + 3 см = 7 см.
2. Определим длины катетов: В прямоугольном треугольнике длины катетов (a и b) связаны с длинами отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу. Эти отрезки равны:
• s - a = 4 см,
• s - b = 3 см,
3. где s - полупериметр треугольника. Полупериметр можно выразить как:
• s = (a + b + c) / 2.
4. Составим систему уравнений: Из первых двух уравнений мы можем выразить a и b через s:
• a = s - 4,
• b = s - 3.
5. Подставим a и b в выражение для полупериметра:
• s = ((s - 4) + (s - 3) + 7) / 2.
6. Упрощаем это уравнение:
• 2s = (2s - 7 + 7) / 2,
• 2s = 2s - 7 + 7,
• 0 = 0.
7. Это уравнение всегда верно. Теперь выразим a и b через c:
• c = a + b + 2s - 7.
8. Найдём площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
• Площадь = (1/2) * a * b.
9. Поскольку мы не знаем a и b, но знаем, что:
• a + b = c + 1,
• где c = 7 см.
10. Следовательно, a + b = 8 см.
11. Теперь мы можем воспользоваться формулой Герона для площади треугольника:
• Площадь = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).
12. Подставим значения:
• s = (a + b + c) / 2 = (8 + 7) / 2 = 7.5 см.
• Теперь подставим a и b в формулу:
• Площадь = sqrt(7.5 * (7.5 - 4) * (7.5 - 3) * (7.5 - 7)).
• Площадь = sqrt(7.5 * 3.5 * 4.5 * 0.5).
13. Рассчитаем:
• Площадь = sqrt(7.5 * 3.5 * 4.5 * 0.5) = sqrt(59.0625) = 7.69 см².

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет примерно 7.69 см².