В результате замеров с помощью тестов в двух группах (Экспериментальная и Контрольная) были получены следующие данные: Экспериментальная Группа: 18, 20, 16, 22, 24, 22, 18, 20, 19, 25, 19, 21. Контрольная Группа: 15, 21, 14, 19, 17, 16, 18, 12, 16, 14. Является ли разница в выборочных средних этих групп значимой? Используйте критерий Стьюдента для анализа.

Математика 10 класс Статистика и теория вероятностей математика 10 класс критерий Стьюдента выборочные средние экспериментальная группа контрольная группа статистический анализ значимость разницы тесты данные результаты эксперимента Новый

Чтобы определить, является ли разница в выборочных средних между экспериментальной и контрольной группами значимой, мы можем использовать критерий Стьюдента. Давайте подробно разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Вычисление средних значений

Сначала найдем средние значения для обеих групп.

• Экспериментальная группа: 18, 20, 16, 22, 24, 22, 18, 20, 19, 25, 19, 21
• Контрольная группа: 15, 21, 14, 19, 17, 16, 18, 12, 16, 14

Сначала найдем сумму значений и количество элементов в каждой группе.

Экспериментальная группа:

• Сумма = 18 + 20 + 16 + 22 + 24 + 22 + 18 + 20 + 19 + 25 + 19 + 21 = 24 + 22 + 18 + 20 + 19 + 25 + 19 + 21 = 234
• Количество элементов (n1) = 12
• Среднее значение (M1) = 234 / 12 = 19.5

Контрольная группа:

• Сумма = 15 + 21 + 14 + 19 + 17 + 16 + 18 + 12 + 16 + 14 = 15 + 21 + 14 + 19 + 17 + 16 + 18 + 12 + 16 + 14 = 16 + 14 = 159
• Количество элементов (n2) = 10
• Среднее значение (M2) = 159 / 10 = 15.9

Шаг 2: Вычисление стандартных отклонений

Теперь найдем стандартные отклонения для каждой группы.

Экспериментальная группа:

• Сначала найдем отклонения от среднего: (18-19.5), (20-19.5), (16-19.5), (22-19.5), (24-19.5), (22-19.5), (18-19.5), (20-19.5), (19-19.5), (25-19.5), (19-19.5), (21-19.5)
• Сумма квадратов отклонений = (18-19.5)² + (20-19.5)² + ... + (21-19.5)² = 1.5² + 0.5² + 3.5² + 2.5² + 4.5² + 2.5² + 1.5² + 0.5² + 0.5² + 5.5² + 0.5² + 1.5² = 2.25 + 0.25 + 12.25 + 6.25 + 20.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 30.25 + 0.25 + 2.25 = 92.5
• Стандартное отклонение (S1) = sqrt(92.5 / (12 - 1)) = sqrt(92.5 / 11) = sqrt(8.409) = 2.9

Контрольная группа:

• Отклонения от среднего: (15-15.9), (21-15.9), (14-15.9), (19-15.9), (17-15.9), (16-15.9), (18-15.9), (12-15.9), (16-15.9), (14-15.9)
• Сумма квадратов отклонений = (15-15.9)² + (21-15.9)² + ... + (14-15.9)² = 0.9² + 5.1² + 1.9² + 3.1² + 1.1² + 0.1² + 2.1² + 3.9² + 0.1² + 1.9² = 0.81 + 26.01 + 3.61 + 9.61 + 1.21 + 0.01 + 4.41 + 15.21 + 0.01 + 3.61 = 60.7
• Стандартное отклонение (S2) = sqrt(60.7 / (10 - 1)) = sqrt(60.7 / 9) = sqrt(6.74) = 2.6

Шаг 3: Вычисление t-статистики

Теперь мы можем вычислить t-статистику по формуле:

t = (M1 - M2) / sqrt((S1²/n1) + (S2²/n2))

• M1 = 19.5
• M2 = 15.9
• S1 = 2.9
• S2 = 2.6
• n1 = 12
• n2 = 10

Подставляем значения:

t = (19.5 - 15.9) / sqrt((2.9²/12) + (2.6²/10)) = 3.6 / sqrt((8.41/12) + (6.76/10)) = 3.6 / sqrt(0.7008 + 0.676) = 3.6 / sqrt(1.3768) = 3.6 / 1.17 ≈ 3.07

Шаг 4: Определение критического значения

Теперь нам нужно определить критическое значение t для 20 степеней свободы (n1 + n2 - 2 = 12 + 10 - 2 = 20) при уровне значимости 0.05. По таблице критических значений t, критическое значение t для 20 степеней свободы и уровня значимости 0.05 (двусторонний тест) составляет примерно 2.086.

Шаг 5: Сравнение t-статистики с критическим значением

Сравниваем полученное значение t с критическим:

• t ≈ 3.07
• Критическое значение ≈ 2.086

Поскольку 3.07 > 2.086, мы отклоняем нулевую гипотезу.

Вывод:

Разница в выборочных средних между экспериментальной и контрольной группами является значимой.