В треугольнике ABC найдите периметр P, косинус угла при вершине B и проекцию вектора AB на вектор BC, если точки имеют координаты: A(2,3,1); B(0,-3,2); C(3,6,2).

Математика 10 класс Треугольники и векторы периметр треугольника ABC косинус угла B проекция вектора AB на BC координаты точек A B C задачи по математике векторы в пространстве тригонометрия в треугольниках Новый

Для решения данной задачи, давайте шаг за шагом найдём периметр треугольника ABC, косинус угла при вершине B и проекцию вектора AB на вектор BC.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

Сначала вычислим длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Длина отрезка AB:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Где A(2,3,1) и B(0,-3,2):

• AB = √((0 - 2)² + (-3 - 3)² + (2 - 1)²)
• AB = √((-2)² + (-6)² + (1)²)
• AB = √(4 + 36 + 1) = √41

Теперь найдем длину BC:

BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Где B(0,-3,2) и C(3,6,2):

• BC = √((3 - 0)² + (6 - (-3))² + (2 - 2)²)
• BC = √(3² + 9² + 0²)
• BC = √(9 + 81) = √90

Теперь найдем длину AC:

AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Где A(2,3,1) и C(3,6,2):

• AC = √((3 - 2)² + (6 - 3)² + (2 - 1)²)
• AC = √(1² + 3² + 1²)
• AC = √(1 + 9 + 1) = √11

Шаг 2: Найдем периметр P треугольника ABC.

Периметр P равен сумме длин всех сторон:

• P = AB + BC + AC
• P = √41 + √90 + √11

Шаг 3: Найдем косинус угла при вершине B.

Косинус угла можно найти по формуле:

cos(B) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC)

• AB² = 41
• BC² = 90
• AC² = 11

Теперь подставим значения:

• cos(B) = (41 + 90 - 11) / (2 * √41 * √90)
• cos(B) = 120 / (2 * √41 * √90)

Шаг 4: Найдем проекцию вектора AB на вектор BC.

Сначала найдем векторы AB и BC:

• AB = B - A = (0 - 2, -3 - 3, 2 - 1) = (-2, -6, 1)
• BC = C - B = (3 - 0, 6 - (-3), 2 - 2) = (3, 9, 0)

Проекция вектора AB на вектор BC вычисляется по формуле:

proj_BC(AB) = (AB • BC) / (BC • BC) * BC

Сначала найдем скалярное произведение AB и BC:

• AB • BC = (-2 * 3) + (-6 * 9) + (1 * 0) = -6 - 54 + 0 = -60

Теперь найдем скалярное произведение BC на себя:

• BC • BC = (3 * 3) + (9 * 9) + (0 * 0) = 9 + 81 + 0 = 90

Теперь можем найти проекцию:

• proj_BC(AB) = (-60 / 90) * BC = (-2/3) * (3, 9, 0) = (-2, -6, 0)

Таким образом, мы нашли:

• Периметр P = √41 + √90 + √11
• Косинус угла при вершине B = 120 / (2 * √41 * √90)
• Проекция вектора AB на вектор BC = (-2, -6, 0)