Верно ли, что векторы a(а1;а2) и (k*а1;k2) коллинеарны?

Математика 10 класс Векторы и их коллинеарность векторы коллинеарность математика линейная алгебра свойства векторов Новый

Чтобы определить, являются ли векторы a(а1; а2) и (k*а1; k2) коллинеарными, необходимо понять, что такое коллинеарность векторов.

Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой. Это значит, что один вектор можно выразить как скалярное произведение другого вектора на некоторое число (скаляр).

Рассмотрим векторы:

• Вектор a: (а1; а2)
• Вектор b: (k*а1; k2)

Чтобы векторы a и b были коллинеарны, должно выполняться следующее условие:

Существует такое число (скаляр) m, что:

• (k*а1) = m * а1
• (k2) = m * а2

Теперь проанализируем каждое из этих равенств:

1. Первое равенство: k*а1 = m * а1. Это уравнение будет верным, если k = m, при условии, что а1 не равно нулю. Если же а1 = 0, то это равенство выполняется для любого m.
2. Второе равенство: k2 = m * а2. Это уравнение будет верным, если k2 = m * а2. Если а2 не равно нулю, то мы можем выразить m как k2 / а2. Если же а2 = 0, то это равенство также выполняется для любого m.

Таким образом, если оба компонента вектора a не равны нулю, то мы можем найти одно и то же значение m, которое удовлетворяет обоим уравнениям, и векторы a и b будут коллинеарны.

Если хотя бы один из компонентов вектора a равен нулю, то необходимо проверить соответствующие компоненты вектора b:

• Если a1 = 0 и а2 = 0, то вектор a = (0; 0), и любой вектор b будет коллинеарным к нулевому вектору.
• Если a1 = 0, то k*а1 всегда будет 0, и для коллинеарности нужно, чтобы k2 тоже было 0 (то есть b = (0; 0)).
• Если а2 = 0, то мы должны проверить, равен ли k2 нулю, чтобы векторы были коллинеарны.

В итоге, векторы a и b коллинеарны, если:

• Оба компонента a не равны нулю, и k = k2 / а2.
• Либо хотя бы один из компонентов a равен нулю, и соответствующие компоненты b также равны нулю.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: векторы a(а1; а2) и (k*а1; k2) коллинеарны, если выполняются указанные условия.