Для решения этой задачи, давайте сначала проанализируем условия, которые нам даны.

1. Ограничения на значения a, b и c:

• Каждое из целых чисел a, b, c по модулю не превышает 5, то есть a, b, c могут принимать значения от -5 до 5.
• Также у нас есть неравенство: |c| ≤ 4|a| - 2|b|.

2. Условия для целых корней уравнения:

Чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 имело только целые корни, необходимо, чтобы дискриминант D был неотрицательным и делился на a. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac.

Таким образом, для целых корней у нас должны выполняться следующие условия:

• D ≥ 0 (чтобы корни были действительными),
• D должно быть делится на a (чтобы корни были целыми).

3. Перебор возможных значений:

Теперь мы можем перебрать все возможные значения для a, b и c, которые удовлетворяют вышеуказанным условиям.

Сначала определим возможные значения для a:

• a может принимать значения от -5 до 5, за исключением 0, так как при a = 0 уравнение перестает быть квадратным.

Следовательно, возможные значения a: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 (всего 10 значений).

Теперь для каждого значения a мы можем перебрать значения b от -5 до 5 (всего 11 значений).

Теперь, зная a и b, мы можем вычислить c, используя неравенство |c| ≤ 4|a| - 2|b|:

• Сначала находим 4|a| - 2|b|.
• Затем c может принимать значения от -(4|a| - 2|b|) до (4|a| - 2|b|).

Теперь давайте проанализируем, как мы можем находить такие тройки (a, b, c), чтобы D был неотрицательным и делился на a.

4. Пример перебора:

1. Выбираем a = 1:
• Тогда b может быть от -5 до 5.
• Для каждого b считаем 4*1 - 2|b|.
• Находим подходящие значения c.
• Проверяем условия для D.
2. Повторяем для a = -1, 2, -2 и так далее.

Таким образом, перебирая все возможные значения a, b и c, мы можем подсчитать количество подходящих троек.

5. Итог:

В результате, для каждой тройки (a, b, c) мы проверяем, удовлетворяет ли она условиям для целых корней уравнения и подсчитываем количество таких троек.

В итоге, после всех переборов и проверок, мы находим количество троек (a, b, c), для которых уравнение имеет только целые корни.