Вопрос: Как составить уравнение линии, каждая точка которой (М) находится на расстоянии, в два раза меньшем от прямой x=14, чем от точки A (2,3)?

Математика 10 класс Уравнения и графики линий на плоскости уравнение линии расстояние от прямой прямая x=14 точка A (2,3) геометрия 10 класс математика координаты аналитическая геометрия расстояние от точки до прямой Новый

Давайте подробно разберем, как составить уравнение линии, каждая точка которой (М) находится на расстоянии, в два раза меньшем от прямой x = 14, чем от точки A (2, 3).

1. Определим точку M. Пусть точка M имеет координаты (x, y). Нам нужно будет найти расстояние от этой точки до точки A и до прямой x = 14.

2. Расстояние от точки M до точки A. Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками:

• Расстояние AM = √((x - 2)² + (y - 3)²).

3. Расстояние от точки M до прямой x = 14. Прямая x = 14 – это вертикальная прямая, поэтому расстояние от точки M до этой прямой просто равно |x - 14|.

4. Составим уравнение на основе условия задачи. По условию задачи расстояние от точки M до прямой x = 14 должно быть в два раза меньше, чем расстояние от точки M до точки A. Это можно записать следующим образом:

• 2 * |x - 14| = √((x - 2)² + (y - 3)²).

5. Упростим уравнение. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

• 4 * (x - 14)² = (x - 2)² + (y - 3)².

6. Раскроем скобки. Раскроем обе стороны уравнения:

• 4 * (x² - 28x + 196) = x² - 4x + 4 + (y - 3)².

7. Соберем все члены на одной стороне. Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

• 4x² - 112x + 784 - x² + 4x - 4 - (y - 3)² = 0.

8. Упростим уравнение. Объединим подобные члены:

• 3x² - 108x + 780 - (y - 3)² = 0.

9. Получим уравнение гиперболы. Теперь мы можем выразить это уравнение в стандартной форме гиперболы:

• 3(x - 18)² - (y - 3)² = 192.

10. Запишем окончательное уравнение. Разделим обе стороны на 192, чтобы привести уравнение к стандартной форме:

• (x - 18)² / 64 - (y - 3)² / 192 = 1.

Таким образом, мы получили уравнение гиперболы с центром в точке (18, 3). Это и есть искомая линия, на которой каждая точка находится на расстоянии, в два раза меньшем от прямой x = 14, чем от точки A (2, 3).