Похожие вопросы
2024-12-04 08:38:16
Является ли прямая y=2x+4 касательной к графику функции y=ax^2+8x+7? Найдите значение a и приведите подробное решение.
Математика 10 класс Касательные к графикам функций касательная прямая график функции значение a решение задачи математика уравнение прямой парабола нахождение a математический анализ геометрия функций
2024-12-10 00:13:43
Чтобы определить, является ли прямая y=2x+4 касательной к графику функции y=ax^2+8x+7, необходимо выполнить несколько шагов, связанных с анализом касательных и нахождением точек их пересечения.
Шаг 1: Найдем производную функцииПроизводная функции y=ax^2+8x+7 определяет наклон касательной к графику функции в любой точке x. Найдем производную:
- y' = d/dx (ax^2 + 8x + 7) = 2ax + 8.
Прямая y=2x+4 будет касательной к графику функции, если в точке касания наклон (производная) будет равен угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент прямой y=2x+4 равен 2. Таким образом, мы должны решить уравнение:
- 2ax + 8 = 2.
Перепишем уравнение:
- 2ax = 2 - 8.
- 2ax = -6.
- ax = -3.
- x = -3/a.
Теперь подставим найденное значение x в уравнение функции, чтобы найти значение y:
- y = a(-3/a)^2 + 8(-3/a) + 7.
- y = a(9/a^2) - 24/a + 7.
- y = 9/a - 24/a + 7.
- y = -15/a + 7.
Теперь подставим x = -3/a в уравнение прямой y=2x+4:
- y = 2(-3/a) + 4.
- y = -6/a + 4.
Так как прямая и парабола должны пересекаться в одной точке, приравняем значения y:
- -15/a + 7 = -6/a + 4.
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
- -15/a + 6/a + 7 - 4 = 0.
- -9/a + 3 = 0.
Умножим обе стороны на a (при условии, что a не равно 0):
- -9 + 3a = 0.
- 3a = 9.
- a = 3.
Теперь мы можем проверить, является ли прямая касательной к графику функции с a=3. Подставим a=3 в уравнение функции:
- y = 3x^2 + 8x + 7.
Находим производную:
- y' = 6x + 8.
При x = -1 (так как x = -3/3 = -1):
- y' = 6(-1) + 8 = 2.
Таким образом, наклон касательной равен 2, что соответствует угловому коэффициенту прямой y=2x+4.
Вывод: Прямая y=2x+4 является касательной к графику функции y=3x^2+8x+7 при a=3.
