Задача: Найдите производные для следующих функций: y = (x - cosx) • sin x и y = (x^2 + 3x + 5)^(5/2). Также, для функции f(x) = 9sin x + 14x найдите f'(t). Кроме того, составьте уравнение касательной к функции y = x^2 + 2x - 8 в точке x0 = 2. Срочно!

Математика 10 класс Производные и касательные производные функции математика 10 класс Уравнение касательной нахождение производной синус косинус квадратная функция касательная к графику Новый

Давайте по порядку решим каждую из задач, начиная с нахождения производных функций.

1. Найдем производную функции y = (x - cos x) • sin x.

Для нахождения производной произведения двух функций, мы используем правило Лейбница, которое гласит:

• (u • v)' = u' • v + u • v'

Где u = (x - cos x) и v = sin x.

Сначала найдем производные u и v:

• u' = 1 - (-sin x) = 1 + sin x
• v' = cos x

Теперь подставим в формулу:

• y' = (1 + sin x) • sin x + (x - cos x) • cos x

Упрощаем:

• y' = sin x + sin^2 x + (x - cos x) • cos x

2. Найдем производную функции y = (x^2 + 3x + 5)^(5/2).

Здесь мы применим правило дифференцирования сложной функции (правило цепи):

• (g(x))^n' = n • (g(x))^(n-1) • g'(x)

Где g(x) = x^2 + 3x + 5 и n = 5/2.

Сначала найдем g'(x):

• g'(x) = 2x + 3

Теперь подставим в формулу:

• y' = (5/2) • (x^2 + 3x + 5)^(3/2) • (2x + 3)

3. Найдем производную функции f(x) = 9sin x + 14x.

Производная от суммы функций равна сумме производных:

• f'(x) = 9cos x + 14

4. Составим уравнение касательной к функции y = x^2 + 2x - 8 в точке x0 = 2.

Сначала найдем значение функции в точке x0:

• y(2) = 2^2 + 2*2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0

Теперь найдем производную функции y:

• y' = 2x + 2

Находим производную в точке x0:

• y'(2) = 2*2 + 2 = 4 + 2 = 6

Теперь у нас есть точка (2, 0) и угол наклона (производная) 6. Уравнение касательной можно записать в виде:

• y - y0 = m(x - x0)

Где (x0, y0) - точка касания, а m - производная в этой точке.

Подставим значения:

• y - 0 = 6(x - 2)

Упростим:

• y = 6x - 12

Таким образом, уравнение касательной к функции y = x^2 + 2x - 8 в точке x0 = 2:

y = 6x - 12.

Итак, мы нашли производные для всех функций и составили уравнение касательной. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!