11. Рассмотрим вопрос о равномерной непрерывности функции f(x), которая дифференцируема на [0, +∞) и имеет предел производной f'(x) равным бесконечности при x, стремящемся к +∞.

Равномерная непрерывность функции на множестве означает, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x, y из этого множества, если |x - y| < δ, то |f(x) - f(y)| < ε.

Если f'(x) стремится к бесконечности, это означает, что производная функции становится все больше и больше при увеличении x. Это может привести к тому, что функция f(x) будет "разгоняться" слишком быстро, и разница |f(x) - f(y)| может стать больше ε для маленьких |x - y|.

Например, если f'(x) > M для некоторого M > 0 и достаточно больших x, то по теореме о среднем значении мы можем сказать, что |f(x) - f(y)| >= M|x - y|. Это говорит о том, что если |x - y| становится маленьким, то |f(x) - f(y)| может быть очень большим, что нарушает условие равномерной непрерывности.

Таким образом, f(x) не может быть равномерно непрерывной на [0, +∞).

12. Теперь рассмотрим аналогичный вопрос, если условие лимита f'(x) при x, стремящемся к +∞, заменить на условие неограниченности f'(x) при x, стремящемся к +∞.

Неограниченность производной означает, что для любой большой величины M найдется такое значение x, что f'(x) > M. Это не обязательно означает, что f'(x) стремится к бесконечности, но это указывает на то, что производная может принимать очень большие значения.

Однако, как и в предыдущем случае, если производная неограниченна, это также может привести к тому, что |f(x) - f(y)| будет расти, когда |x - y| становится маленьким. Например, если f'(x) становится очень большим, это может вызвать резкий рост функции, что тоже нарушает равномерную непрерывность.

Следовательно, f(x) не может быть равномерно непрерывной на [0, +∞) даже в этом случае.

13. Теперь исследуем равномерную непрерывность для перечисленных функций.

a. Функция f(x) = sin(x) / x на множестве X = (0, +∞).

• Для x стремящегося к 0, f(x) стремится к 1.
• Для x стремящегося к бесконечности, f(x) колеблется между -1 и 1, но уменьшается по модулю.
• Согласно теореме о равномерной непрерывности на ограниченных интервалах, функция будет равномерно непрерывной на (0, +∞).

Таким образом, f(x) = sin(x) / x равномерно непрерывна на (0, +∞).

b. Функция f(x) = sin(1/x) на множестве X = (0, +∞).

• При x стремящемся к 0, аргумент синуса стремится к бесконечности, что приводит к колебаниям функции.
• Функция не может быть равномерно непрерывной, так как разница |f(x) - f(y)| может быть произвольно большой при малом |x - y|.

Следовательно, f(x) = sin(1/x) не равномерно непрерывна на (0, +∞).

c. Функция f(x) = x sin(1/x) на множестве X = (0, +∞).

• При x стремящемся к 0, f(x) стремится к 0.
• Однако, f(x) имеет колебания, которые растут по модулю, так как x увеличивается.
• Таким образом, функция не может быть равномерно непрерывной, так как колебания не уменьшаются.

Таким образом, f(x) = x sin(1/x) не равномерно непрерывна на (0, +∞).

d. Функция f(x) = sin(x^2) на множестве X = (0, +∞).

• При x стремящемся к бесконечности, функция колеблется между -1 и 1.
• Поскольку колебания не уменьшаются, мы можем утверждать, что |f(x) - f(y)| не будет ограничено при малом |x - y|.

Таким образом, f(x) = sin(x^2) не равномерно непрерывна на (0, +∞).