19. Даны точки A(0;1;2), B(√2;1;2) и C(√2;2;1):

1. Какая из указанных точек принадлежит плоскости Oyz?
   • 1) A
   • 2) B
   • 3) C
   • 4) ни одна
2. Каковы координаты вектора AB?
   • 1) {√2; 0; 0}
   • 2) {√2; 1; 2}
   • 3) {√2; 0; 0}
   • 4) {-√2; 1; 2}
3. Каково скалярное произведение векторов AB и AC?
   • 1) 0
   • 2) 2
   • 3) 3
4. Каков угол, образованный векторами AB и AC?
   • 1) 30°
   • 2) 45°
   • 3) 60°
   • 4) 90°

20. Даны векторы a{-3; 19}, b{1; -3}, c{1; 3}, d{3; – 9}.

1. Какая из указанных пар является сонаправленными векторами?
   • 1) a
   • 2) b, d
   • 3) a, b
   • 4) a, d
2. Какая из указанных пар является противоположно направленными векторами?
   • 1) b, d
   • 2) a, b
   • 3) a, c
   • 4) c, d
3. Каков угол, образованный векторами b и m?
   • 1) 60°
   • 2) 90°
   • 3) 180°
4. Какова длина вектора b + 2c?
   • 1) 18
   • 2) 2√3
   • 3) 3√2
   • 4) 9
5. 4) 0°

Математика 11 класс Векторы и координатная геометрия математика 11 класс плоскость OYZ координаты вектора AB скалярное произведение векторов угол между векторами сонаправленные векторы противоположно направленные векторы длина вектора b + 2c Новый

Задача 19

1. Чтобы определить, какая из указанных точек принадлежит плоскости Oyz, нужно понять, что в плоскости Oyz координата x равна 0. Проверим каждую точку:

• Точка A(0; 1; 2): x = 0, значит, точка A принадлежит плоскости Oyz.
• Точка B(√2; 1; 2): x = √2 (не равно 0), значит, точка B не принадлежит плоскости Oyz.
• Точка C(√2; 2; 1): x = √2 (не равно 0), значит, точка C не принадлежит плоскости Oyz.

Ответ: 1) A

2. Теперь найдем координаты вектора AB. Вектор AB определяется как разность координат точки B и точки A:

• AB = B - A = (√2; 1; 2) - (0; 1; 2) = (√2 - 0; 1 - 1; 2 - 2) = (√2; 0; 0).

Ответ: 1) {√2; 0; 0}

3. Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC. Сначала найдем координаты вектора AC:

• AC = C - A = (√2; 2; 1) - (0; 1; 2) = (√2; 2 - 1; 1 - 2) = (√2; 1; -1).

Теперь скалярное произведение:

• AB · AC = (√2; 0; 0) · (√2; 1; -1) = √2 * √2 + 0 * 1 + 0 * (-1) = 2 + 0 + 0 = 2.

Ответ: 2) 2

4. Чтобы найти угол между векторами AB и AC, используем формулу:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|).

Сначала найдем длины векторов:

• |AB| = √(√2^2 + 0^2 + 0^2) = √2.
• |AC| = √(√2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(2 + 1 + 1) = √4 = 2.

Теперь подставим в формулу:

• cos(θ) = 2 / (√2 * 2) = 2 / (2√2) = 1 / √2.
• θ = 45°.

Ответ: 2) 45°

Задача 20

1. Чтобы определить, какие из указанных пар являются сонаправленными векторами, нужно проверить, имеют ли они одинаковое направление. Для этого можно проверить, являются ли векторы кратными друг другу:

• Вектор a{-3; 19} и вектор d{3; -9}: -3 * (-1) = 3 и 19 * (-1) = -19, не сонаправлены.
• Вектор b{1; -3} и вектор d{3; -9}: 1 * 3 = 3 и -3 * 3 = -9, не сонаправлены.
• Вектор a и вектор b: -3 * 1 не равно -3, не сонаправлены.
• Вектор a и вектор d: -3 * 3 не равно -9, не сонаправлены.

Ответ: 1) a

2. Теперь найдем противоположно направленные векторы:

• Вектор b{1; -3} и вектор d{3; -9}: 1 * 3 = 3 и -3 * 3 = -9, противоположно направлены.
• Вектор a и b: -3 * 1 не равно -3, не противоположно направлены.
• Вектор a и c: -3 * 1 не равно 3, не противоположно направлены.
• Вектор c и d: 1 * 3 = 3 и 3 * -9 = -27, не противоположно направлены.

Ответ: 1) b, d

3. Угол между векторами b{1; -3} и m{1; 3}:

• Скалярное произведение: b · m = 1 * 1 + (-3) * 3 = 1 - 9 = -8.
• Длину вектора b: |b| = √(1^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10.
• Длину вектора m: |m| = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10.
• cos(θ) = -8 / (√10 * √10) = -8 / 10 = -0.8.
• θ = 180°.

Ответ: 3) 180°

4. Теперь найдем длину вектора b + 2c:

• Вектор c{1; 3}, тогда 2c = {2 * 1; 2 * 3} = {2; 6}.
• Теперь b + 2c = {1; -3} + {2; 6} = {1 + 2; -3 + 6} = {3; 3}.
• Длина вектора b + 2c: |b + 2c| = √(3^2 + 3^2) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

Ответ: 3) 3√2