Давайте разберем каждое из утверждений по отдельности и выясним, какие из них верны при x, стремящемся к 0.

Это утверждение верно. Давайте объясним, почему:

• Согласно определению малой о-нотации, f(x) = o(g(x)) означает, что lim (x -> 0) f(x)/g(x) = 0.
• Если f₁(x) = o(g(x)) и f₂(x) = o(g(x)), то:
• lim (x -> 0) f₁(x)/g(x) = 0;
• lim (x -> 0) f₂(x)/g(x) = 0.
• Тогда, по свойствам пределов, lim (x -> 0) (f₁(x) + f₂(x))/g(x) = lim (x -> 0) f₁(x)/g(x) + lim (x -> 0) f₂(x)/g(x) = 0 + 0 = 0.
• Следовательно, f₁(x) + f₂(x) = o(g(x)).

Это утверждение неверно. Рассмотрим, почему:

• Согласно определению большой O-нотации, f(x) = O(g(x)) означает, что существует константа C и такое значение x₀, что для всех x < x₀ выполняется |f(x)| ≤ C|g(x)|.
• Если f₁(x) = O(g(x)) и f₂(x) = O(g(x)), то:
• Существуют константы C₁ и C₂, такие что |f₁(x)| ≤ C₁|g(x)| и |f₂(x)| ≤ C₂|g(x)| для x < x₀.
• Но это не гарантирует, что f₁(x) · f₂(x) = O(g(x)). Например, если f₁(x) = g(x) и f₂(x) = g(x), то f₁(x) · f₂(x) = g(x)², что не является O(g(x)).

Это утверждение верно. Объясним почему:

• f₁(x) = O(g₁(x)) означает, что |f₁(x)| ≤ C|g₁(x)| для некоторой константы C и x близких к 0.
• f₂(x) = o(g₂(x)) означает, что lim (x -> 0) f₂(x)/g₂(x) = 0.
• Теперь рассмотрим произведение f₁(x) · f₂(x):
• lim (x -> 0) (f₁(x) · f₂(x))/(g₁(x) · g₂(x)) = lim (x -> 0) (f₁(x)/g₁(x)) · (f₂(x)/g₂(x)).
• Так как f₁(x) = O(g₁(x)), то lim (x -> 0) (f₁(x)/g₁(x)) имеет конечное значение, скажем, L.
• Так как f₂(x) = o(g₂(x)), то lim (x -> 0) (f₂(x)/g₂(x)) = 0.
• Следовательно, L · 0 = 0, что означает, что lim (x -> 0) (f₁(x) · f₂(x))/(g₁(x) · g₂(x)) = 0.
• Таким образом, f₁(x) · f₂(x) = o(g₁(x) · g₂(x)).

В итоге, верными являются утверждения (a) и (c), а утверждение (b) неверно.