2025-09-25 13:51:19
Анастасия Николаева, здравствуйте, как можно решить следующую задачу? Сколько делителей числа 12! являются полными квадратами? Где ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … • n
- A) 36
- B) 24
- C) 28
- D) 26
- E) 32
Математика 11 класс Комбинаторика и деление на множители число 12! делители числа 12! полные квадраты задача по математике комбинаторика факторизация делители квадратные числа решение задачи математика 11 класс
2025-09-25 13:51:34
Здравствуйте! Давайте разберем, как найти количество делителей числа 12!, которые являются полными квадратами.
Первый шаг - найдем разложение числа 12! на простые множители. Для этого используем формулу для нахождения количества простых множителей:
- Определяем все простые числа, которые меньше или равны 12: 2, 3, 5, 7, 11.
- Находим степень каждого простого числа в разложении 12! по формуле:
Степень простого числа p в разложении n! можно найти по формуле:
k = n/p + n/p^2 + n/p^3 + ...
Теперь применим эту формулу для каждого простого числа:
- Для 2:
- 12/2 = 6
- 12/4 = 3
- 12/8 = 1
- Итого: 6 + 3 + 1 = 10
- Для 3:
- 12/3 = 4
- 12/9 = 1
- Итого: 4 + 1 = 5
- Для 5:
- 12/5 = 2
- Итого: 2
- Для 7:
- 12/7 = 1
- Итого: 1
- Для 11:
- 12/11 = 1
- Итого: 1
Теперь у нас есть разложение 12!:
12! = 2^10 * 3^5 * 5^2 * 7^1 * 11^1
Теперь, чтобы найти количество делителей, которые являются полными квадратами, нужно учесть, что степень каждого простого множителя в полном квадрате должна быть четной.
Для каждого простого числа определим, сколько четных степеней мы можем получить:
- Для 2: степени 0, 2, 4, 6, 8, 10 (всего 6 вариантов).
- Для 3: степени 0, 2, 4 (всего 3 варианта).
- Для 5: степени 0, 2 (всего 2 варианта).
- Для 7: только 0 (всего 1 вариант).
- Для 11: только 0 (всего 1 вариант).
Теперь перемножаем количество вариантов:
Количество полных квадратов = 6 (для 2) * 3 (для 3) * 2 (для 5) * 1 (для 7) * 1 (для 11) = 6 * 3 * 2 * 1 * 1 = 36.
Таким образом, количество делителей числа 12!, которые являются полными квадратами, равно 36.
Ответ: A) 36