Анастасия Николаева, здравствуйте, как можно решить задачу: сколько делителей числа 12! являются полными квадратами? Где ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n

• A) 36
• B) 24
• C) 28
• D) 26
• E) 32

Математика 11 класс Комбинаторика и теорія чисел число 12 делители числа 12 полные квадраты факторизация чисел комбинаторика задачи по математике математика 11 класс решение задач делители факториалов свойства квадратов Новый

Здравствуйте! Давайте разберем, как можно решить задачу о количестве делителей числа 12!, которые являются полными квадратами.

Для начала, нам нужно найти разложение числа 12! на простые множители. Это можно сделать, используя формулу для нахождения количества каждого простого числа в факториале:

• Количество простого числа p в n! определяется по формуле: n/p + n/p^2 + n/p^3 + ... (пока p^k ≤ n).

Теперь найдем разложение 12! на простые множители:

• Простые числа, которые меньше или равны 12: 2, 3, 5, 7, 11.
• Теперь найдем количество каждого из этих простых чисел в 12!:
• Для 2:
  • 12/2 = 6
  • 12/4 = 3
  • 12/8 = 1
  • Итого: 6 + 3 + 1 = 10.
• Для 3:
  • 12/3 = 4
  • 12/9 = 1
  • Итого: 4 + 1 = 5.
• Для 5:
  • 12/5 = 2
  • Итого: 2.
• Для 7:
  • 12/7 = 1
  • Итого: 1.
• Для 11:
  • 12/11 = 1
  • Итого: 1.

Таким образом, разложение 12! на простые множители выглядит следующим образом:

12! = 2^10 3^5 5^2 7^1 11^1

Теперь, чтобы найти количество делителей, которые являются полными квадратами, мы должны учитывать только четные степени простых множителей. Для этого:

• Для 2: возможные степени 0, 2, 4, 6, 8, 10 (всего 6 вариантов).
• Для 3: возможные степени 0, 2, 4 (всего 3 варианта).
• Для 5: возможные степени 0, 2 (всего 2 варианта).
• Для 7: возможная степень 0 (всего 1 вариант, так как 1 не дает четной степени).
• Для 11: возможная степень 0 (также 1 вариант).

Теперь перемножим количество вариантов:

Количество полных квадратов = 6 3 2 1 1 = 36

Таким образом, количество делителей числа 12!, которые являются полными квадратами, равно 36. Правильный ответ: A) 36.