Арифметическая иерархия

Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой, даст ли это результат в виде сигма1-формулы? И верно ли обратное: если соединить закрытую пи-1 формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, получится ли пи-1 формула? То есть, зависит ли результат от квантора в начале: если действие начинается с сигма1-формулы (неограниченного квантора существования), будет ли результат конъюнкции сигма1-формулой? А если действие начинается с пи-1 формулы (неограниченного квантора всеобщности), будет ли результат конъюнкции пи-1 формулой? Верно? Жду ответа СПЕЦИАЛИСТОВ, спасибо.

Математика 11 класс Логика и теоретическая информатика ариметическая иерархия сигма1-формулы пи1-формулы конъюнкция кванторы математическая логика формулы первого порядка свойства формул теорема о кванторах логические операции Новый

Вопрос, который вы задаете, касается арифметической иерархии и свойств формул в логике. Давайте разберем оба случая по порядку.

1. Соединение закрытой сигма1-формулы с закрытой пи-1 формулой:

• Сигма1-формула — это формула, начинающаяся с квантора существования, и может иметь произвольное количество вложенных кванторов всеобщности и существования.
• Пи-1-формула — это формула, начинающаяся с квантора всеобщности, и также может содержать произвольное количество вложенных кванторов.
• Когда мы соединяем сигма1-формулу с пи-1-формулой с помощью конъюнкции (то есть логического "и"), мы получаем формулу, которая по своей структуре будет оставаться сигма1-формулой.
• Это происходит потому, что в сигма1-формуле уже есть квантор существования, который "преобладает" в конъюнкции, и вся конструкция остается сигма1.

2. Соединение закрытой пи-1-формулы с закрытой сигма1-формулой:

• Когда мы соединяем пи-1-формулу с сигма1-формулой, мы начинаем с квантора всеобщности.
• В этом случае результатом будет формула, которая по своей структуре остается пи-1-формулой.
• Здесь квантор всеобщности также "преобладает" и сохраняет структуру пи-1.

Таким образом, можно сделать вывод:

• Если действие начинается с сигма1-формулы, то результат конъюнкции будет сигма1-формулой.
• Если действие начинается с пи-1-формулы, то результат конъюнкции будет пи-1-формулой.

Ответ на ваш вопрос: да, результат зависит от начального квантора. Если вы начинаете с сигма1, то результат будет сигма1, а если с пи-1, то результат будет пи-1. Это важное свойство арифметической иерархии.