Дан куб ABCDABCD, ребро которого равно 3 см. А) Какое расстояние между прямыми A1B1 и DD1? Б) Каков угол между DC1 и BC1?

Математика 11 класс Пространственные геометрические фигуры расстояние между прямыми угол между прямыми куб ABCD математика 11 класс геометрия куба задачи на расстояние задачи на угол Новый

Решение задачи:

Давайте рассмотрим куб ABCDABCD, где A, B, C, D - это нижняя грань, а A1, B1, C1, D1 - верхняя грань. Ребро куба равно 3 см.

А) Расстояние между прямыми A1B1 и DD1:

1. Определим координаты вершин куба:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 3, 0)
• D(0, 3, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(3, 0, 3)
• C1(3, 3, 3)
• D1(0, 3, 3)

2. Прямые A1B1 и DD1 можно задать векторно:

• A1B1: (0, 0, 3) + t(3, 0, 0)
• DD1: (0, 3, 0) + s(0, 0, 3)

3. Найдем векторное уравнение этих прямых:

• A1B1: r1(t) = (3t, 0, 3)
• DD1: r2(s) = (0, 3, 3s)

4. Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми можно использовать формулу:

Расстояние = |(b1 - b2) * (d1 x d2)| / |d1 x d2|,

где b1 и b2 - точки на прямых, d1 и d2 - направления прямых.

5. Подставим значения:

• b1 = A1(0, 0, 3)
• b2 = D(0, 3, 0)
• d1 = B1 - A1 = (3, 0, 0)
• d2 = D1 - D = (0, 0, 3)

6. Найдем векторное произведение d1 и d2:

d1 x d2 = |i j k|

|3 0 0|

|0 0 3|

= (0*3 - 0*0)i - (3*3 - 0*0)j + (3*0 - 0*0)k

= 0i - 9j + 0k = (0, -9, 0)

7. Найдем длину векторного произведения:

|d1 x d2| = √(0^2 + (-9)^2 + 0^2) = 9.

8. Теперь найдем вектор (b1 - b2):

b1 - b2 = (0, 0, 3) - (0, 3, 0) = (0, -3, 3).

9. Теперь подставим в формулу расстояния:

Расстояние = |(0, -3, 3) * (0, -9, 0)| / 9.

10. Найдем векторное произведение:

(0, -3, 3) * (0, -9, 0) = |i j k|

|0 -3 3|

|0 -9 0|

= (-27)i + (0)j + (0)k = (-27, 0, 0).

11. Длина этого вектора равна 27.

12. Подставим в формулу расстояния:

Расстояние = 27 / 9 = 3 см.

Ответ: расстояние между прямыми A1B1 и DD1 равно 3 см.

Б) Угол между DC1 и BC1:

1. Определим векторы DC1 и BC1:

• DC1 = C1 - D = (3, 3, 3) - (0, 3, 0) = (3, 0, 3)
• BC1 = C1 - B = (3, 3, 3) - (3, 0, 0) = (0, 3, 3)

2. Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу:

cos(φ) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a и b - векторы, φ - угол между ними.

3. Найдем скалярное произведение DC1 и BC1:

DC1 * BC1 = (3, 0, 3) * (0, 3, 3) = 3*0 + 0*3 + 3*3 = 9.

4. Найдем длины векторов:

• |DC1| = √(3^2 + 0^2 + 3^2) = √(9 + 0 + 9) = √18 = 3√2.
• |BC1| = √(0^2 + 3^2 + 3^2) = √(0 + 9 + 9) = √18 = 3√2.

5. Подставим в формулу:

cos(φ) = 9 / (3√2 * 3√2) = 9 / 18 = 0.5.

6. Найдем угол φ:

φ = arccos(0.5) = 60°.

Ответ: угол между DC1 и BC1 равен 60°.