Для решения задачи нам нужно найти смешанные частные производные функции z = xy ln(x/y) и затем подставить в выражение ∂²z/∂y∂x + 2 ∂²z/∂x∂y в точке (1; 1).

Шаг 1: Найдем первую частную производную z по x.

• Функция z = xy ln(x/y) может быть переписана как z = xy (ln(x) - ln(y)).
• Теперь применим правило произведения и правило дифференцирования логарифма:
• ∂z/∂x = y ln(x/y) + xy * (1/x) = y ln(x/y) + y.

Шаг 2: Найдем первую частную производную z по y.

• Теперь найдем ∂z/∂y:
• ∂z/∂y = x ln(x/y) - xy * (1/y) = x ln(x/y) - x.

Шаг 3: Найдем вторую частную производную z по y и x.

• Теперь вычислим ∂²z/∂y∂x. Для этого продифференцируем ∂z/∂x по y:
• ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (y ln(x/y) + y) = ln(x/y) + y * (1/y) - y * (1/x) = ln(x/y) + 1 - (y/x).

Шаг 4: Найдем вторую частную производную z по x и y.

• Теперь вычислим ∂²z/∂x∂y. Для этого продифференцируем ∂z/∂y по x:
• ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (x ln(x/y) - x) = ln(x/y) + x * (1/x) - 1 = ln(x/y) + 1 - 1 = ln(x/y).

Шаг 5: Подставим найденные производные в выражение.

• Теперь подставим в выражение ∂²z/∂y∂x + 2 ∂²z/∂x∂y:
• ∂²z/∂y∂x + 2 ∂²z/∂x∂y = (ln(x/y) + 1 - (y/x)) + 2 * ln(x/y).
• Это упрощается до: 3ln(x/y) + 1 - (y/x).

Шаг 6: Подставим точку (1; 1).

• Теперь подставим x = 1 и y = 1:
• ln(1/1) = ln(1) = 0, и (y/x) = 1.
• Получаем: 3 * 0 + 1 - 1 = 0.

Ответ: 0