Для каких значений х график функции f(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3 располагается в верхней полуплоскости?

Математика 11 класс Анализ графиков функций значения х график функции верхняя полуплоскость f(x) (2 - 3x)^3 (2 + 3x)^3 Новый

Для определения значений x, при которых график функции f(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3 располагается в верхней полуплоскости, необходимо выяснить, при каких условиях значение функции f(x) будет положительным, то есть f(x) > 0.

Начнем с упрощения функции f(x). Используем формулу для суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

В нашем случае:

• a = (2 - 3x)
• b = (2 + 3x)

Теперь вычислим a + b:

a + b = (2 - 3x) + (2 + 3x) = 4

Теперь найдем a^2 - ab + b^2:

• a^2 = (2 - 3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2
• b^2 = (2 + 3x)^2 = 4 + 12x + 9x^2
• ab = (2 - 3x)(2 + 3x) = 4 - 9x^2

Теперь подставим все это в формулу:

a^2 - ab + b^2 = (4 - 12x + 9x^2) + (4 + 12x + 9x^2) - (4 - 9x^2) = 8 + 9x^2

Таким образом, функция f(x) может быть записана как:

f(x) = 4(8 + 9x^2)

Теперь определим, когда f(x) > 0:

4(8 + 9x^2) > 0

Поскольку 4 является положительным числом, условие упрощается до:

8 + 9x^2 > 0

Теперь решим неравенство:

• 9x^2 > -8

Поскольку 9x^2 всегда неотрицательно (x^2 ≥ 0), то неравенство 9x^2 > -8 всегда выполняется для всех значений x.

Таким образом, график функции f(x) располагается в верхней полуплоскости для всех значений x:

Ответ: график функции f(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3 располагается в верхней полуплоскости для всех значений x ∈ R.