Докажи, что если два равнобедренных треугольника имеют равные углы при вершине, то такие треугольники подобны.

Математика 11 класс Теорема о подобии треугольников равнобедренные треугольники углы при вершине подобие треугольников доказательство подобия свойства треугольников Новый

Чтобы доказать, что два равнобедренных треугольника с равными углами при вершине подобны, рассмотрим следующие шаги:

1. Определим треугольники: Пусть у нас есть два равнобедренных треугольника ABC и DEF, где AB = AC и DE = DF. Обозначим угол при вершине треугольника ABC как угол A, а угол при вершине треугольника DEF как угол D.
2. Условия задачи: Предположим, что угол A равен углу D, то есть ∠A = ∠D.
3. Найдём другие углы: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, в треугольнике ABC углы B и C равны, и в треугольнике DEF углы E и F равны. Обозначим угол B как α, тогда угол C также будет α. В треугольнике DEF угол E обозначим как β, тогда угол F также будет β.
4. Используем сумму углов треугольника: Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Для треугольника ABC имеем:
   • ∠A + ∠B + ∠C = 180°
   • ∠A + α + α = 180°
   • ∠A + 2α = 180°
   • 2α = 180° - ∠A
   • α = (180° - ∠A) / 2
5. Аналогично для треугольника DEF:
   • ∠D + ∠E + ∠F = 180°
   • ∠D + β + β = 180°
   • ∠D + 2β = 180°
   • 2β = 180° - ∠D
   • β = (180° - ∠D) / 2
6. Сравним углы: Поскольку ∠A = ∠D, то можно подставить это значение:
   • α = (180° - ∠A) / 2
   • β = (180° - ∠D) / 2 = (180° - ∠A) / 2
7. Таким образом: Мы получили, что углы α и β равны, то есть α = β.
8. Теперь у нас есть равенство углов: Мы имеем равенство всех углов в треугольниках ABC и DEF:
   • ∠A = ∠D
   • ∠B = ∠E
   • ∠C = ∠F
9. Следовательно, треугольники ABC и DEF подобны: По критерию подобия треугольников (по углам), если два треугольника имеют равные углы, то такие треугольники подобны.

Таким образом, мы доказали, что если два равнобедренных треугольника имеют равные углы при вершине, то такие треугольники подобны.