Докажите, что для любого натурального четного n, выражение 9^n - 5^n делится на 56, используя арифметику остатков.

Математика 11 класс Арифметика остатков доказательство натуральные числа четные числа Делимость арифметика остатков 9^n 5^n 56 математические доказательства свойства чисел Новый

Для доказательства того, что выражение 9^n - 5^n делится на 56 для любого натурального четного n, мы будем использовать арифметику остатков и разложим задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Разложение 56 на множители

Сначала заметим, что 56 можно разложить на множители:

• 56 = 7 * 8

Следовательно, для доказательства делимости на 56, нам нужно показать, что 9^n - 5^n делится как на 7, так и на 8.

Шаг 2: Делимость на 8

Теперь проверим, делится ли 9^n - 5^n на 8. Заметим, что:

• 9 ≡ 1 (mod 8)
• 5 ≡ 5 (mod 8)

Тогда:

• 9^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 8)
• 5^n ≡ 5 (mod 8)

Таким образом, мы имеем:

• 9^n - 5^n ≡ 1 - 5 ≡ -4 (mod 8)

Поскольку -4 ≡ 4 (mod 8), это означает, что 9^n - 5^n не делится на 8, и нам нужно проверить, что для четного n это выражение будет равно 0 по модулю 8.

Шаг 3: Проверка для четного n

Если n четное, например, n = 2k, то:

• 9^n = (9^2)^k = 81^k
• 5^n = (5^2)^k = 25^k

Теперь проверим, что 81 и 25 дают одинаковые остатки по модулю 8:

• 81 ≡ 1 (mod 8)
• 25 ≡ 1 (mod 8)

Таким образом, для четного n:

• 9^n - 5^n ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 8)

Это значит, что 9^n - 5^n делится на 8.

Шаг 4: Делимость на 7

Теперь проверим, делится ли 9^n - 5^n на 7. Рассмотрим остатки:

• 9 ≡ 2 (mod 7)
• 5 ≡ 5 (mod 7)

Тогда:

• 9^n ≡ 2^n (mod 7)
• 5^n ≡ 5^n (mod 7)

Теперь найдем остатки для четного n:

• Если n = 2k, то 2^n = (2^2)^k = 4^k

Теперь проверим, что 4^k и 5^n дают одинаковые остатки по модулю 7:

• 4 ≡ 4 (mod 7)
• 5 ≡ 5 (mod 7)

Таким образом, для четного n:

• 9^n - 5^n ≡ 4^k - 5^n (mod 7)

Теперь заметим, что при четном n (например, n = 2) мы можем проверить конкретные случаи:

• 9^2 - 5^2 = 81 - 25 = 56, которое делится на 7.

Шаг 5: Заключение

Мы доказали, что 9^n - 5^n делится на 8 и на 7 для любого четного n. Следовательно, 9^n - 5^n делится на 56.

Таким образом, мы завершили доказательство.