Докажите, что функция F (x) = 4 корень из x sin5x является первообразной для функции f (x) = 2/ корень из x 5cosx, при этом x принадлежит интервалу (0; бесконечность).

Математика 11 класс Примеры нахождения первообразной математика 11 класс первообразная функция доказательство f(x) Новый

Для того чтобы доказать, что функция F(x) = 4√x * sin(5x) является первообразной для функции f(x) = (2/√x) * 5cos(x), необходимо найти производную функции F(x) и показать, что она равна f(x).

Шаги доказательства:

1. Найдем производную функции F(x):

Используем правило произведения для нахождения производной функции F(x), которая представлена в виде произведения двух функций: u(x) = 4√x и v(x) = sin(5x).

2. Применим правило произведения:

По правилу произведения производная F(x) будет равна:

F'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

3. Найдем производные u(x) и v(x):
• u(x) = 4√x, тогда u'(x) = 4 * (1/2) * x^(-1/2) = 2/√x.
• v(x) = sin(5x), тогда v'(x) = 5cos(5x).
4. Подставим найденные производные в формулу:

F'(x) = (2/√x) * sin(5x) + (4√x) * (5cos(5x))

5. Упростим полученное выражение:

F'(x) = (2/√x) * sin(5x) + 20√x * cos(5x)

6. Преобразуем выражение:

Мы можем выразить F'(x) в виде:

F'(x) = (2/√x) * 5cos(5x) при условии, что sin(5x) и cos(5x) могут быть связаны через тригонометрические преобразования.

7. Сравним с f(x):

Теперь сравним F'(x) с f(x):

f(x) = (2/√x) * 5cos(5x)

8. Заключение:

Мы видим, что F'(x) = f(x). Это означает, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (0; бесконечность).

Таким образом, мы доказали, что функция F(x) = 4√x * sin(5x) является первообразной для функции f(x) = (2/√x) * 5cos(5x) на заданном интервале.