Докажите, что отрезок [-11;2] является компактным.

Математика 11 класс Компактность множеств отрезок компактный доказательство математика 11 класс свойства отрезков Новый

Чтобы доказать, что отрезок [-11; 2] является компактным, необходимо использовать два основных свойства, которые определяют компактность в рамках топологии на числовой прямой:

1. Отрезок должен быть замкнутым.
2. Отрезок должен быть ограниченным.

Теперь рассмотрим каждое из этих свойств по отдельности:

• Замкнутость: Отрезок [-11; 2] включает в себя свои границы, то есть -11 и 2. Замкнутые интервалы в действительных числах определяются как такие, которые содержат все свои предельные точки. Поскольку границы отрезка входят в него, можно сказать, что [-11; 2] является замкнутым множеством.
• Ограниченность: Ограниченность означает, что существует некоторое число M, такое что все элементы отрезка находятся в пределах -M и M. В данном случае, все числа в отрезке [-11; 2] находятся между -11 и 2. Мы можем взять M = 11, и тогда все элементы отрезка будут удовлетворять условию -11 ≤ x ≤ 2, что подтверждает, что отрезок ограничен.

Таким образом, отрезок [-11; 2] является и замкнутым, и ограниченным. Следовательно, по определению компактности в топологии, мы можем сделать вывод, что отрезок [-11; 2] является компактным множеством.