Если n – натуральное число, то n!! равен произведению всех нечетных чисел от 1 до n, если n – нечетное, и равно произведению всех четных чисел от 2 до n, если n – четное. Например, 5!! = 1 × 3 × 5, 6!! = 2 × 4 × 6. Какой остаток получится при делении на 101 числа 100!! - 99!!?

Математика 11 класс Факториалы и двойные факториалы остаток деления 100!! 99!! натуральные числа четные числа нечетные числа произведение чисел математика 11 класс Новый

Для того чтобы найти остаток от деления числа 100!! - 99!! на 101, сначала нужно вычислить значения 100!! и 99!!.

Шаг 1: Вычислим 100!!

Поскольку 100 является четным числом, то по определению 100!! будет равно произведению всех четных чисел от 2 до 100.

• 100!! = 2 × 4 × 6 × ... × 100.

Это можно записать как:

• 100!! = 2 × (1 × 2 × 3 × ... × 50) = 2 × 50!.

Шаг 2: Вычислим 99!!

Поскольку 99 является нечетным числом, то по определению 99!! будет равно произведению всех нечетных чисел от 1 до 99.

• 99!! = 1 × 3 × 5 × ... × 99.

Это можно записать как:

• 99!! = (1 × 2 × 3 × ... × 99) / (2 × 4 × 6 × ... × 98) = 99! / (2^(49) × 49!).

Шаг 3: Теперь найдем 100!! - 99!!

Подставим найденные значения:

• 100!! - 99!! = (2 × 50!) - (99! / (2^(49) × 49!)).

Шаг 4: Упростим выражение

Сначала заметим, что 99! = 99 × 98 × ... × 51 × 50!. Тогда:

• 99! = 99 × 98 × ... × 51 × 50! = 99 × 98 × ... × 51 × 50! = 50! × (99 × 98 × ... × 51).

Теперь подставим это в выражение:

• 100!! - 99!! = 2 × 50! - (50! × (99 × 98 × ... × 51) / (2^(49) × 49!)).

Шаг 5: Найдем остаток при делении на 101

Теперь нужно найти остаток от 100!! - 99!! при делении на 101. Однако, для упрощения, мы можем воспользоваться тем, что 101 - простое число, и по свойству факториалов:

• 50! и 99! оба содержат множители от 1 до 99, которые включают все числа от 1 до 100. Поэтому 100!! и 99!! будут делиться на 101.

Таким образом, мы можем утверждать:

• 100!! ≡ 0 (mod 101)
• 99!! ≡ 0 (mod 101)

Следовательно:

• 100!! - 99!! ≡ 0 - 0 ≡ 0 (mod 101).

Ответ: Остаток при делении 100!! - 99!! на 101 равен 0.