Голова не варит(( Дан шар, его объём = 36Pi см³. В шар вписан конус.

1. Как выразить радиус основания конуса (r) через высоту конуса (h), если радиус шара (R) = 3 см? Нужно выразить именно через высоту.
2. Какова должна быть высота h конуса, чтобы объём конуса был наибольшим? ЗАРАНЕЕЕ БЛАГОДАРЕН, РЕБЯТУШКИ)

Математика 11 класс Оптимизация объёма конуса вписанного в шар объем шара радиус основания конуса высота конуса максимальный объем конуса геометрия конуса математические задачи 11 класс Новый

Давайте разберёмся с вашей задачей шаг за шагом.

У нас есть шар радиусом R = 3 см и его объём равен 36Pi см³. Вы правильно указали, что радиус шара равен 3 см, поэтому мы можем проверить объём шара по формуле:

Объём шара: V = (4/3) * Pi * R³

Подставим R = 3 см:

V = (4/3) * Pi * (3)³ = (4/3) * Pi * 27 = 36Pi см³.

Теперь, когда мы уверены, что объём шара правильный, перейдём к конусу. Конус вписан в шар, и его основание будет находиться в круге, который является сечением шара.

Теперь выразим радиус основания конуса (r) через высоту конуса (h). Для этого нам нужно использовать геометрические соотношения. Обратите внимание, что высота конуса (h) и радиус основания (r) связаны с радиусом шара (R) и высотой от основания конуса до верхней точки шара.

Можно заметить, что если провести вертикальную линию от вершины конуса до центра шара, то мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• одна сторона - это радиус основания конуса (r),
• другая сторона - это разность радиуса шара и высоты конуса (R - h),
• гипотенуза - это радиус шара (R).

По теореме Пифагора мы можем записать:

r² + (R - h)² = R².

Теперь подставим R = 3 см:

r² + (3 - h)² = 3².

Раскроем скобки:

r² + (3 - h)² = 9.

r² + (9 - 6h + h²) = 9.

Теперь упростим уравнение:

r² - 6h + h² = 0.

Таким образом, мы можем выразить r²:

r² = 6h - h².

Теперь, чтобы найти высоту h конуса, при которой объём конуса будет максимальным, используем формулу для объёма конуса:

Объём конуса: V_conus = (1/3) * Pi * r² * h.

Подставим выражение для r²:

V_conus = (1/3) * Pi * (6h - h²) * h.

V_conus = (1/3) * Pi * (6h² - h³).

Теперь, чтобы найти максимальный объём, мы должны взять производную объёма по h и приравнять её к нулю:

dV_conus/dh = (1/3) * Pi * (12h - 3h²) = 0.

Решим уравнение:

12h - 3h² = 0.

3h(4 - h) = 0.

Таким образом, h = 0 или h = 4. Так как h = 0 не имеет смысла в данном контексте, мы имеем h = 4 см.

Теперь мы можем подставить это значение h обратно в уравнение для r:

r² = 6(4) - (4)² = 24 - 16 = 8.

r = √8 = 2√2 см.

Итак, ответ:

• Радиус основания конуса r выражается через высоту h как r² = 6h - h².
• Оптимальная высота h конуса для максимального объёма равна 4 см.
• При этом радиус основания конуса r будет равен 2√2 см.