Как графически решить уравнение (1/2)^(-x)= 8/x?

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции y=(x^2+8)/(x+1), где x∈[0;3]?

Как решить систему уравнений 2^(x+2)-3^(y+1)=5 и 2^x+3^y=17?

Математика 11 класс Графические методы решения уравнений и систем уравнений; Оптимизация функций графическое решение уравнения Наибольшее значение функции наименьшее значение функции решение системы уравнений математика 11 класс Новый

Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Графическое решение уравнения (1/2)^(-x) = 8/x:

1. Сначала преобразуем уравнение. Заметим, что (1/2)^(-x) = 2^x. Таким образом, уравнение можно записать как 2^x = 8/x.
2. Теперь определим функции, которые будем исследовать:
   • f(x) = 2^x (экспоненциальная функция, которая всегда положительна и растет).
   • g(x) = 8/x (рациональная функция, которая определена при x > 0 и убывает).
3. Нарисуем графики обеих функций на одной координатной плоскости.
4. Точки пересечения графиков f(x) и g(x) будут решениями уравнения (1/2)^(-x) = 8/x. Найдите точки пересечения, это и будет ответом на ваше уравнение.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = (x^2 + 8)/(x + 1) на отрезке x ∈ [0; 3]:

1. Сначала найдем производную функции y. Используем правило деления:
2. y' = [(2x)(x + 1) - (x^2 + 8)(1)] / (x + 1)^2.
3. Упростим производную:
4. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 2x(x + 1) - (x^2 + 8) = 0.
5. Решим это уравнение и найдем критические точки.
6. Теперь подставим найденные критические точки, а также концы отрезка (x = 0 и x = 3) в исходную функцию y и сравним значения.
7. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке будут соответствовать максимальному и минимальному значениям из найденных.

3. Решение системы уравнений 2^(x + 2) - 3^(y + 1) = 5 и 2^x + 3^y = 17:

1. Начнем с первого уравнения: 2^(x + 2) = 5 + 3^(y + 1). Упростим его: 2^x * 4 = 5 + 3^(y + 1), откуда 2^x = (5 + 3^(y + 1))/4.
2. Теперь подставим выражение для 2^x во второе уравнение: (5 + 3^(y + 1))/4 + 3^y = 17.
3. Умножим все на 4 для удобства: 5 + 3^(y + 1) + 4*3^y = 68.
4. Упростим это уравнение: 3^(y + 1) + 4*3^y = 63.
5. Заменим 3^(y + 1) на 3 * 3^y и упростим: 3 * 3^y + 4*3^y = 63, что дает 7*3^y = 63.
6. Решим это уравнение: 3^y = 9, откуда y = 2.
7. Теперь подставим y = 2 обратно в одно из уравнений, чтобы найти x. Например, во второе: 2^x + 3^2 = 17, т.е. 2^x + 9 = 17, отсюда 2^x = 8, что дает x = 3.
8. Таким образом, решение системы: x = 3, y = 2.

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!