Для исследования графика функции, давайте рассмотрим все пункты по порядку. Предположим, что у нас есть функция f(x). Шаги исследования будут следующими:

Первым шагом является нахождение области определения функции. Это означает, что мы должны определить, для каких значений x функция f(x) определена. Например, если у нас есть дробь, то мы должны исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю.

Следующий шаг — проверить, является ли функция непрерывной на своей области определения. Функция непрерывна, если нет разрывов, скачков или асимптот в области определения. Мы можем проверить непрерывность, исследуя пределы функции в точках, где она может быть разрывной.

Для проверки четности или нечетности функции, необходимо проверить следующее:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x в области определения.
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x) для всех x в области определения.

Чтобы найти точки пересечения с осями, нужно:

• Для пересечения с осью X: решить уравнение f(x) = 0.
• Для пересечения с осью Y: найти значение f(0), если 0 входит в область определения.

Здесь мы ищем интервалы, на которых функция не меняет своего значения. Это может быть связано с тем, что производная функции равна нулю (f'(x) = 0) на этих интервалах.

Теперь рассмотрим асимптоты:

• Вертикальная асимптота x=0: мы проверяем, стремится ли функция к бесконечности или минус бесконечности при x, стремящемся к 0.
• Невертикальная асимптота y=-x: для нахождения этой асимптоты нужно проверить предел функции при x, стремящемся к бесконечности или минус бесконечности.

Для нахождения экстремумов функции, необходимо найти производную f'(x) и решить уравнение f'(x) = 0. Затем мы исследуем знаки производной на интервалах, чтобы определить, где функция возрастает или убывает:

• Если f'(x) > 0, то функция возрастает.
• Если f'(x) < 0, то функция убывает.

Точки перегиба находятся, когда вторая производная f''(x) меняет знак. Мы находим f''(x) и решаем уравнение f''(x) = 0, затем проверяем знак второй производной на полученных интервалах.

На основе всех полученных данных мы можем нарисовать график функции. Начинаем с осей координат, отмечаем точки пересечения с осями, указываем асимптоты, экстремумы и точки перегиба. Также не забудьте указать интервалы монотонности.

Таким образом, исследуя функцию по всем указанным пунктам, мы получаем полное представление о ее графике и поведении.