Давайте рассмотрим функцию f(x) = 1/x и проверим, является ли она непрерывной на интервале (0, 1), а затем выясним, является ли она равномерно непрерывной на этом же интервале.

Функция считается непрерывной в точке x0, если выполняется следующее условие:

• f(x0) определена;
• lim (x -> x0) f(x) существует;
• lim (x -> x0) f(x) = f(x0).

На интервале (0, 1) функция f(x) = 1/x определена для всех x, так как x не равен нулю. Теперь рассмотрим произвольную точку x0 из интервала (0, 1).

Мы должны показать, что:

• lim (x -> x0) f(x) = lim (x -> x0) (1/x) = 1/x0 = f(x0).

Так как x0 принадлежит интервалу (0, 1), то 1/x0 также принадлежит множеству действительных чисел. Таким образом, функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (0, 1).

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на интервале, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых x1, x2 из интервала, если |x1 - x2| < δ, то |f(x1) - f(x2)| < ε.

Теперь рассмотрим два значения x1 и x2, которые близки друг к другу, но находятся очень близко к нулю. Например, пусть x1 = 1/n и x2 = 1/(n+1) для очень больших n. Тогда:

• f(x1) = n,
• f(x2) = n + 1.

Теперь найдем разность:

• |f(x1) - f(x2)| = |n - (n + 1)| = 1.

Таким образом, независимо от того, насколько малым мы выберем δ, мы можем сделать |x1 - x2| достаточно малым, но |f(x1) - f(x2)| всегда будет равно 1, что больше любого ε < 1.

Следовательно, для любого ε < 1 не существует δ, удовлетворяющего условию равномерной непрерывности.

Таким образом, мы пришли к выводу, что функция f(x) = 1/x является непрерывной на интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной на этом же интервале.