Как можно доказать, что начиная с некоторого n будет выполнено неравенство 0,999n < 0,001, используя неравенство Бернулли и преобразования выражений?

Математика 11 класс Неравенства и неравенство Бернулли неравенство Бернулли доказательство неравенства математический анализ последовательности и пределы преобразования выражений Новый

Чтобы доказать неравенство 0,999n < 0,001, начнем с того, что мы можем преобразовать это неравенство для удобства:

1. Перепишем неравенство:

0,999n < 0,001

2. Теперь разделим обе стороны на 0,999 (это допустимо, так как 0,999 > 0):

n < 0,001 / 0,999

3. Теперь вычислим правую часть:

0,001 / 0,999 ≈ 0,001001001001001001...

4. Таким образом, мы получаем:

n < 0,001001001001001001...

5. Теперь мы видим, что для выполнения неравенства n должно быть меньше примерно 0,001001.
6. Теперь давайте определим, начиная с какого n это неравенство будет выполнено.

Мы можем сказать, что для целых n, начиная с n = 1, неравенство не выполняется, так как 0,999 * 1 = 0,999 > 0,001. Но если мы возьмем n = 1000, то:

1. Подставим n = 1000:

0,999 * 1000 = 999 > 0,001

2. Теперь, если n = 1001:

0,999 * 1001 = 999,999 > 0,001

3. Таким образом, мы видим, что для целых n это неравенство не будет выполнено.

Теперь, чтобы использовать неравенство Бернулли, мы можем рассмотреть последовательность (1 - x)^n, где x = 0,001. Согласно неравенству Бернулли, для любого x > 0 и n > 0 верно:

(1 - x)^n < e^(-nx)

В нашем случае, если мы подставим x = 0,001 и n, то получим:

(1 - 0,001)^n < e^(-0,001n)

Таким образом, если n достаточно велико, то e^(-0,001n) становится очень малым, что будет соответствовать нашему исходному неравенству.

Таким образом, мы можем заключить, что начиная с некоторого n, например, n = 1001, неравенство 0,999n < 0,001 будет выполняться.