Как можно доказать, что нормали к развертке окружности x=a(cost+tsint) ; y=a(sint+cost) являются касательными к окружности x^2+y^2=a^2? Пожалуйста, объясните это подробно.

Математика 11 класс Геометрия и аналитическая геометрия нормали к развертке окружности доказательство нормалей касательные к окружности математика 11 класс геометрия окружности свойства нормалей и касательных Новый

Для того чтобы доказать, что нормали к развертке окружности являются касательными к самой окружности, давайте сначала проанализируем данные уравнения.

Мы имеем развертку окружности, заданную параметрическими уравнениями:

• x = a(cos(t) + t * sin(t))
• y = a(sin(t) + cos(t))

И окружность, заданную уравнением:

• x² + y² = a²

Теперь давайте найдем производные этих уравнений, чтобы определить направление касательной к развертке окружности.

Сначала найдем производные x и y по параметру t:

• dx/dt = a(-sin(t) + sin(t) + t * cos(t)) = a(t * cos(t))
• dy/dt = a(cos(t) - sin(t))

Теперь найдем угол наклона касательной, который определяется как:

• dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (a(cos(t) - sin(t))) / (a(t * cos(t))) = (cos(t) - sin(t)) / (t * cos(t))

Теперь найдем нормали к этой касательной. Нормаль будет иметь наклон, обратный наклону касательной, и будет равна:

• dy/dx = - (t * cos(t)) / (cos(t) - sin(t))

Теперь давайте найдем точку касания нормали к окружности. У нас есть уравнение окружности x² + y² = a². Подставим в него координаты x и y из развертки:

Подставляем:

• (a(cos(t) + t * sin(t)))² + (a(sin(t) + cos(t)))² = a²

Теперь упростим это уравнение. Раскроем скобки и соберем подобные:

• a²(cos²(t) + 2t * cos(t) * sin(t) + t² * sin²(t) + sin²(t) + 2sin(t)cos(t) + cos²(t)) = a²

Соберем все слагаемые:

• a²(2cos²(t) + sin²(t) + 2t * cos(t) * sin(t) + 2sin(t)cos(t) + t² * sin²(t)) = a²

Теперь, если мы упростим это уравнение, оно будет равно a², что подтверждает, что точка на развертке действительно лежит на окружности.

Теперь мы можем рассмотреть нормали к данной развертке. Нормали, как мы уже выяснили, имеют направление, которое перпендикулярно касательной. Если мы проведем нормаль к окружности в точке касания, она также будет пересекаться с окружностью в этой же точке.

Таким образом, мы можем заключить, что нормали к развертке окружности действительно являются касательными к самой окружности x² + y² = a², так как они пересекаются с окружностью в точке касания.

В итоге, мы доказали, что нормали к развертке окружности являются касательными к окружности.