Как можно доказать, что треугольник является правильным, если радиус вписанной окружности равен 1, а длины высот - целые числа?

Математика 11 класс Вписанная и описанная окружности треугольника правильный треугольник радиус вписанной окружности длины высот доказательство треугольника свойства треугольников математика 11 класс геометрия треугольника задачи по геометрии теоремы о треугольниках Новый

Чтобы доказать, что треугольник является правильным, если радиус вписанной окружности равен 1, а длины высот - целые числа, необходимо рассмотреть несколько свойств правильного треугольника и соотношения между его элементами.

Шаг 1: Определение радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности (r) правильного треугольника можно выразить через его сторону (a) следующим образом:

r = (a * √3) / 6

Так как в нашем случае радиус вписанной окружности равен 1, мы можем записать:

1 = (a * √3) / 6

Отсюда можно выразить сторону треугольника:

a = 6 / √3 = 2√3.

Шаг 2: Длина высоты правильного треугольника

Высота (h) правильного треугольника также может быть выражена через сторону:

h = (a * √3) / 2.

Подставляя значение a, получаем:

h = (2√3 * √3) / 2 = 3.

Шаг 3: Доказательство целочисленности высот

Теперь, если мы рассматриваем высоты правильного треугольника, у нас есть три высоты, которые равны:

• h1 = h2 = h3 = 3.

Все высоты являются целыми числами, что соответствует условию задачи.

Шаг 4: Заключение

Таким образом, треугольник с радиусом вписанной окружности равным 1 и целыми длинами высот действительно является правильным треугольником, так как все высоты равны и равны 3, что подтверждает, что стороны треугольника равны.

Следовательно, мы можем утверждать, что треугольник является правильным.