Как можно доказать два следствия Теоремы Безу?

1. Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
2. Число различных корней ненулевого многочлена не больше, чем степень этого многочлена.

Математика 11 класс Многочлены и теорема Безу теорема Безу следствия Теоремы Безу доказательство Теоремы Безу многочлен Р(х) корни многочлена степень многочлена делимость многочлена различные корни многочлена Новый

Теорема Безу утверждает важные свойства многочленов и их корней. Мы рассмотрим доказательства двух следствий этой теоремы.

1. Доказательство первого следствия:

Если 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼n - различные корни многочлена P(x), то многочлен P(x) делится на (x - α1) ∙ (x - α2) ∙ ... ∙ (x - αn).

1. Предположим, что P(x) - многочлен степени n.
2. По определению корня многочлена, если 𝛼i является корнем P(x), то P(𝛼i) = 0 для каждого i от 1 до n.
3. Согласно теореме о делении многочленов, можно записать P(x) в виде:
• P(x) = (x - α1)(x - α2)...(x - αn)Q(x) + R(x),
4. где Q(x) - некоторый многочлен, а R(x) - остаток, который должен быть многочленом степени меньше n.
5. Так как P(αi) = 0, подставляя 𝛼i в это уравнение, получаем:
• 0 = (𝛼i - α1)(𝛼i - α2)...(𝛼i - αn)Q(αi) + R(αi).
• Поскольку 𝛼i равно одному из корней, то (𝛼i - αi) = 0, и следовательно, R(αi) = 0.
6. Так как это верно для всех i, то R(x) имеет n различных корней, что возможно только если R(x) = 0.
7. Таким образом, мы имеем P(x) = (x - α1)(x - α2)...(x - αn)Q(x), что и доказывает первое следствие.

2. Доказательство второго следствия:

Число различных корней ненулевого многочлена не больше, чем степень этого многочлена.

1. Предположим, что P(x) - многочлен степени n, где n > 0.
2. По первому следствию, если P(x) имеет более n различных корней, то он может быть представлен в виде:
• P(x) = (x - α1)(x - α2)...(x - αk)Q(x),
3. где k - количество различных корней и Q(x) - многочлен степени (n - k).
4. Если k > n, то степень многочлена (x - α1)(x - α2)...(x - αk) будет равна k, что противоречит тому, что P(x) имеет степень n.
5. Следовательно, число различных корней k не может превышать n, что и доказывает второе следствие.

Таким образом, оба следствия Теоремы Безу были доказаны через свойства многочленов и их корней.