Как можно исследовать на возрастание (убывание) и экстремумы функцию f(x) = 2x^2 - x^4 + 3?

Математика 11 класс Производная и ее применение исследование функции возрастание функции убывание функции экстремумы функции f(x) = 2x^2 - x^4 анализ функции математический анализ производная функции график функции точки экстремума Новый

Для исследования функции f(x) = 2x^2 - x^4 + 3 на возрастание, убывание и экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Производная функции f(x) показывает, как изменяется функция при изменении x. Для данной функции f(x) = 2x^2 - x^4 + 3, найдем производную:

f'(x) = d(2x^2)/dx - d(x^4)/dx + d(3)/dx = 4x - 4x^3.

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим f'(x) = 0:

4x - 4x^3 = 0.

Можно вынести общий множитель:

4x(1 - x^2) = 0.

Теперь решим уравнение:

• 4x = 0 → x = 0;
• 1 - x^2 = 0 → x^2 = 1 → x = ±1.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1, x = -1.

3. Исследовать знак производной.

Для определения возрастания и убывания функции нужно исследовать знак производной на интервалах, которые образуются критическими точками:

• Интервал (-∞, -1);
• Интервал (-1, 0);
• Интервал (0, 1);
• Интервал (1, +∞).

Теперь подберем тестовые точки для каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2: f'(-2) = 4(-2) - 4(-2)^3 = -8 + 32 = 24 (положительно);
• Для интервала (-1, 0), например, x = -0.5: f'(-0.5) = 4(-0.5) - 4(-0.5)^3 = -2 + 0.5 = -1.5 (отрицательно);
• Для интервала (0, 1), например, x = 0.5: f'(0.5) = 4(0.5) - 4(0.5)^3 = 2 - 0.5 = 1.5 (положительно);
• Для интервала (1, +∞), например, x = 2: f'(2) = 4(2) - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24 (отрицательно).

Таким образом, мы можем сделать выводы:

• На интервале (-∞, -1) функция возрастает;
• На интервале (-1, 0) функция убывает;
• На интервале (0, 1) функция возрастает;
• На интервале (1, +∞) функция убывает.
4. Определить экстремумы.

Теперь мы можем определить, какие из критических точек являются экстремумами:

• В точке x = -1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный;
• В точке x = 0 функция имеет минимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный;
• В точке x = 1 функция имеет максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = 2x^2 - x^4 + 3 на возрастание, убывание и экстремумы, и нашли, что:

• Максимум в точках x = -1 и x = 1;
• Минимум в точке x = 0.