Как можно найти P(x), если P(x+1) + P(x-1) = 2x² + 2?

Математика 11 класс Полиномы и их свойства найти P(x) P(x+1) P(x-1) 2x² уравнение математика 11 класс Новый

Чтобы найти многочлен P(x), который удовлетворяет уравнению P(x+1) + P(x-1) = 2x² + 2, начнем с того, что предполагаем, что P(x) — это многочлен второй степени, так как правая часть уравнения является многочленом второй степени.

Обозначим P(x) в общем виде:

P(x) = ax² + bx + c

Теперь найдем P(x+1) и P(x-1):

• P(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c = a(x² + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax² + 2ax + a + bx + b + c
• P(x-1) = a(x-1)² + b(x-1) + c = a(x² - 2x + 1) + b(x - 1) + c = ax² - 2ax + a + bx - b + c

Теперь сложим P(x+1) и P(x-1):

P(x+1) + P(x-1) = (ax² + 2ax + a + bx + b + c) + (ax² - 2ax + a + bx - b + c)

= 2ax² + 2a + 2bx + 2c

Теперь у нас есть выражение для P(x+1) + P(x-1), и мы можем приравнять его к правой части уравнения:

2ax² + 2a + 2bx + 2c = 2x² + 2

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. Коэффициент при x²: 2a = 2 → a = 1
2. Коэффициент при x: 2b = 0 → b = 0
3. Свободный член: 2a + 2c = 2 → 2(1) + 2c = 2 → 2 + 2c = 2 → 2c = 0 → c = 0

Теперь мы можем подставить найденные значения a, b и c в общее уравнение P(x):

P(x) = 1x² + 0x + 0 = x²

Таким образом, мы нашли многочлен P(x):

P(x) = x²