Как можно найти производную функции и составить уравнение касательной к графику функции в определенной точке?

1. Как найти производную функции: y=1/(x^2+2x)^3, если значение производной в точке x нулевое=1?

2. Как решить уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+x в точке с абсциссой x нулевое=1?

Если не сложно, напишите, пожалуйста, с объяснением)

Математика 11 класс Производные и касательные к графикам функций производная функции Уравнение касательной график функции нахождение производной математика 11 класс точка касания значение производной решение уравнения функция f(x) абсцисса точки Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Как найти производную функции y = 1/(x^2 + 2x)^3 и вычислить значение производной в точке x = 1?

Для нахождения производной функции, мы будем использовать правило дифференцирования дроби и цепное правило. Функция представлена в виде дроби, где числитель равен 1, а знаменатель - (x^2 + 2x)^3.

Применим правило производной дроби:

• Если y = u/v, то y' = (u'v - uv') / v^2.

В нашем случае:

• u = 1, следовательно, u' = 0.
• v = (x^2 + 2x)^3.

Теперь найдем производную v:

• v' = 3(x^2 + 2x)^2 * (2x + 2) (по правилу цепочки, где (x^2 + 2x)' = 2x + 2).

Теперь подставим в формулу для производной:

• y' = (0 * v - 1 * v') / v^2 = -v' / v^2.

Теперь подставим v и v':

• y' = -[3(x^2 + 2x)^2 * (2x + 2)] / [(x^2 + 2x)^3]^2.

Упрощаем:

• y' = -3(2x + 2) / (x^2 + 2x)^4.

Теперь подставим x = 1, чтобы найти значение производной в этой точке:

• y'(1) = -3(2*1 + 2) / (1^2 + 2*1)^4 = -3(2 + 2) / (1 + 2)^4 = -3*4 / 3^4 = -12 / 81 = -4 / 27.

Значит, значение производной в точке x = 1 равно -4/27.

2. Как составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + x в точке с абсциссой x = 1?

Чтобы составить уравнение касательной, нам нужно знать координаты точки касания и значение производной функции в этой точке.

Сначала найдем значение функции в точке x = 1:

• f(1) = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2.

Теперь найдем производную функции f(x):

• f'(x) = 3x^2 + 1.

Теперь подставим x = 1 в производную:

• f'(1) = 3*1^2 + 1 = 3 + 1 = 4.

Теперь у нас есть точка касания (1, 2) и угловой коэффициент касательной (4). Уравнение касательной можно записать в виде:

• y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки касания, а m - угловой коэффициент.

Подставим значения:

• y - 2 = 4(x - 1).

Упростим уравнение:

• y - 2 = 4x - 4;
• y = 4x - 2.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + x в точке с абсциссой x = 1: y = 4x - 2.