2025-02-14 15:51:08
Как можно найти производную функции и составить уравнение касательной к графику функции в определенной точке?
1. Как найти производную функции: y=1/(x^2+2x)^3, если значение производной в точке x нулевое=1?
2. Как решить уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+x в точке с абсциссой x нулевое=1?
Если не сложно, напишите, пожалуйста, с объяснением)
Математика 11 класс Производные и касательные к графикам функций производная функции Уравнение касательной график функции нахождение производной математика 11 класс точка касания значение производной решение уравнения функция f(x) абсцисса точки
2025-02-14 15:51:31
Давайте разберем оба вопроса по порядку.
1. Как найти производную функции y = 1/(x^2 + 2x)^3 и вычислить значение производной в точке x = 1?
Для нахождения производной функции, мы будем использовать правило дифференцирования дроби и цепное правило. Функция представлена в виде дроби, где числитель равен 1, а знаменатель - (x^2 + 2x)^3.
Применим правило производной дроби:
- Если y = u/v, то y' = (u'v - uv') / v^2.
В нашем случае:
- u = 1, следовательно, u' = 0.
- v = (x^2 + 2x)^3.
Теперь найдем производную v:
- v' = 3(x^2 + 2x)^2 * (2x + 2) (по правилу цепочки, где (x^2 + 2x)' = 2x + 2).
Теперь подставим в формулу для производной:
- y' = (0 * v - 1 * v') / v^2 = -v' / v^2.
Теперь подставим v и v':
- y' = -[3(x^2 + 2x)^2 * (2x + 2)] / [(x^2 + 2x)^3]^2.
Упрощаем:
- y' = -3(2x + 2) / (x^2 + 2x)^4.
Теперь подставим x = 1, чтобы найти значение производной в этой точке:
- y'(1) = -3(2*1 + 2) / (1^2 + 2*1)^4 = -3(2 + 2) / (1 + 2)^4 = -3*4 / 3^4 = -12 / 81 = -4 / 27.
Значит, значение производной в точке x = 1 равно -4/27.
2. Как составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + x в точке с абсциссой x = 1?
Чтобы составить уравнение касательной, нам нужно знать координаты точки касания и значение производной функции в этой точке.
Сначала найдем значение функции в точке x = 1:
- f(1) = 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2.
Теперь найдем производную функции f(x):
- f'(x) = 3x^2 + 1.
Теперь подставим x = 1 в производную:
- f'(1) = 3*1^2 + 1 = 3 + 1 = 4.
Теперь у нас есть точка касания (1, 2) и угловой коэффициент касательной (4). Уравнение касательной можно записать в виде:
- y - y0 = m(x - x0),
Подставим значения:
- y - 2 = 4(x - 1).
Упростим уравнение:
- y - 2 = 4x - 4;
- y = 4x - 2.
Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 + x в точке с абсциссой x = 1: y = 4x - 2.
