Как можно найти решение уравнения второго порядка, если его корни являются комплексными числами?

Математика 11 класс Уравнения второго порядка решение уравнения второго порядка корни комплексные числа методы нахождения корней уравнения Новый

Чтобы найти решение уравнения второго порядка, когда его корни являются комплексными числами, нужно следовать определённым шагам. Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

ax² + bx + c = 0

где a, b и c — это коэффициенты, а a ≠ 0.

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Дискриминант (D) уравнения второго порядка вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

Шаг 2: Анализ дискриминанта

• Если D > 0, то у уравнения два различных действительных корня.
• Если D = 0, то у уравнения один действительный корень (двойной корень).
• Если D < 0, то у уравнения два комплексных корня.

Шаг 3: Находим комплексные корни

Если D < 0, то мы можем вычислить корни уравнения следующим образом:

Корни уравнения можно найти по формуле:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Поскольку D < 0, мы можем выразить корни следующим образом:

√D = √(-1 * |D|) = i√|D|

где i — мнимая единица (i² = -1).

Таким образом, подставляя это в формулу для корней, получаем:

x₁ = (-b + i√|D|) / (2a)

x₂ = (-b - i√|D|) / (2a)

Шаг 4: Запись окончательных корней

Теперь мы можем записать корни уравнения в виде:

x₁ = -b/(2a) + (i√|D|)/(2a)

x₂ = -b/(2a) - (i√|D|)/(2a)

Эти корни будут комплексными числами, так как содержат мнимую часть.

Таким образом, мы нашли комплексные корни уравнения второго порядка, следуя этим шагам.