Как можно обосновать, что произведение (10^10-1)(10^10+1) кратно 9?

Математика 11 класс Делимость и остатки произведение кратно 9 обоснование математика 11 класс свойства чисел Делимость 10^10-1 10^10+1 Новый

Чтобы обосновать, что произведение (10^10 - 1)(10^10 + 1) кратно 9, мы можем использовать свойства делимости и остатки от деления.

Рассмотрим каждое из множителей по отдельности:

• 1. Определим 10^10 по модулю 9:

10 по модулю 9 равняется 1, так как 10 = 9 + 1. Следовательно, мы можем записать:

10^10 ≡ 1^10 (mod 9) ≡ 1 (mod 9).

• 2. Теперь найдем 10^10 - 1 и 10^10 + 1 по модулю 9:

Используя результат выше:

• 10^10 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 9),
• 10^10 + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 9).

Таким образом, 10^10 - 1 кратно 9, так как оно дает остаток 0 при делении на 9.

Теперь рассмотрим произведение:

• 3. Произведение:

Мы имеем:

(10^10 - 1)(10^10 + 1) ≡ 0 * 2 ≡ 0 (mod 9).

Это означает, что произведение (10^10 - 1)(10^10 + 1) также кратно 9, так как один из множителей (10^10 - 1) кратен 9.

Вывод: Таким образом, мы обосновали, что произведение (10^10 - 1)(10^10 + 1) кратно 9.