Как можно определить целые решения уравнения x³=(x-1)³ +(x-2)³ +(x-3)³?

Математика 11 класс Уравнения с целыми решениями целые решения уравнение x³ математические уравнения решение уравнений алгебра методы решения анализ уравнений математические задачи Новый

Чтобы определить целые решения уравнения x³ = (x-1)³ + (x-2)³ + (x-3)³, начнем с упрощения правой части уравнения. Мы можем раскрыть кубы и затем упростить выражение.

Рассмотрим правую часть уравнения:

• (x-1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1
• (x-2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8
• (x-3)³ = x³ - 9x² + 27x - 27

Теперь сложим эти три выражения:

• Сложим x³: 3x³
• Сложим -3x², -6x² и -9x²: -3x² - 6x² - 9x² = -18x²
• Сложим 3x, 12x и 27x: 3x + 12x + 27x = 42x
• Сложим -1, -8 и -27: -1 - 8 - 27 = -36

Таким образом, мы можем записать правую часть уравнения как:

3x³ - 18x² + 42x - 36

Теперь подставим это в уравнение:

x³ = 3x³ - 18x² + 42x - 36

Переносим все на одну сторону:

0 = 3x³ - x³ - 18x² + 42x - 36

0 = 2x³ - 18x² + 42x - 36

Теперь упростим это уравнение, поделив его на 2:

0 = x³ - 9x² + 21x - 18

Теперь мы можем искать целые корни этого кубического уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о целых корнях, которая гласит, что возможные целые корни уравнения имеют вид ± делители свободного члена. В данном случае свободный член -18, и его делителями являются:

• ±1
• ±2
• ±3
• ±6
• ±9
• ±18

Теперь подставим эти значения в уравнение x³ - 9x² + 21x - 18 и проверим, при каких значениях оно равно нулю:

1. Для x = 1: 1³ - 9*1² + 21*1 - 18 = 1 - 9 + 21 - 18 = -5 (не корень)
2. Для x = 2: 2³ - 9*2² + 21*2 - 18 = 8 - 36 + 42 - 18 = -4 (не корень)
3. Для x = 3: 3³ - 9*3² + 21*3 - 18 = 27 - 81 + 63 - 18 = -9 (не корень)
4. Для x = 6: 6³ - 9*6² + 21*6 - 18 = 216 - 324 + 126 - 18 = 0 (корень)
5. Для x = 9: 9³ - 9*9² + 21*9 - 18 = 729 - 729 + 189 - 18 = 171 (не корень)
6. Для x = -1, -2, -3, -6, -9, -18: проверяем аналогично, но они не дадут ноль.

Таким образом, мы нашли целое решение уравнения: x = 6.

Теперь можно проверить, является ли x = 6 единственным целым решением, проведя деление многочлена x³ - 9x² + 21x - 18 на (x - 6) и исследуя оставшийся многочлен. Но для начала мы уже нашли одно целое решение.

В итоге, целое решение уравнения x³ = (x-1)³ + (x-2)³ + (x-3)³ - это x = 6.