Как можно определить два средних члена в разложении (a^3+b^2)^15?

Математика 11 класс Комбинаторика и биномиальная теорема средние члены разложение биномиальная теорема математика 11 класс (a^3+b^2)^15 Новый

Чтобы определить два средних члена в разложении (a^3 + b^2)^15, нам нужно использовать биномиальную теорему. Биномиальная теорема утверждает, что (x + y)^n = Σ (n! / (k! * (n - k)!)) * x^(n - k) * y^k, где k – это номер члена в разложении, а n – степень.

В нашем случае x = a^3, y = b^2 и n = 15. Таким образом, мы можем записать разложение как:

(a^3 + b^2)^15 = Σ (15! / (k! * (15 - k)!)) * (a^3)^(15 - k) * (b^2)^k

Теперь у нас есть формула для каждого члена разложения. Каждый член будет иметь вид:

Член(k) = (15! / (k! * (15 - k)!)) * (a^3)^(15 - k) * (b^2)^k

Теперь, чтобы найти два средних члена, нам нужно определить, сколько всего членов в разложении. Поскольку n = 15, общее количество членов будет равно n + 1, то есть 16.

Поскольку 16 – четное число, два средних члена будут 8-й и 9-й члены в разложении. Чтобы найти их, нам нужно подставить k = 7 и k = 8 в формулу для общего члена.

1. Для 8-го члена (k = 7):
• Член(7) = (15! / (7! * (15 - 7)!)) * (a^3)^(15 - 7) * (b^2)^7
• Это будет = (15! / (7! * 8!)) * (a^3)^8 * (b^2)^7
• Упрощая, получаем: (15! / (7! * 8!)) * a^24 * b^14.
2. Для 9-го члена (k = 8):
• Член(8) = (15! / (8! * (15 - 8)!)) * (a^3)^(15 - 8) * (b^2)^8
• Это будет = (15! / (8! * 7!)) * (a^3)^7 * (b^2)^8
• Упрощая, получаем: (15! / (8! * 7!)) * a^21 * b^16.

Таким образом, два средних члена в разложении (a^3 + b^2)^15 – это:

• 8-й член: (15! / (7! * 8!)) * a^24 * b^14
• 9-й член: (15! / (8! * 7!)) * a^21 * b^16

Итак, мы определили два средних члена в разложении. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!