Как можно определить корни уравнения f(x) = x ^ 3 - 2x ^ 2 - 4x + 5?

Математика 11 класс Корни уравнений корни уравнения f(x) x^3 - 2x^2 - 4x + 5 методы нахождения корней математические уравнения Новый

Чтобы найти корни уравнения f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5, мы можем использовать несколько методов. Рассмотрим основные шаги для нахождения корней этого кубического уравнения.

Шаг 1: Определение возможных рациональных корней

Сначала мы можем использовать теорему о рациональных корнях, чтобы определить возможные рациональные корни. Для этого нам нужно найти делители свободного члена (в данном случае 5) и делители ведущего коэффициента (в данном случае 1).

• Делители 5: ±1, ±5
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±5.

Шаг 2: Подстановка возможных корней

Теперь подставим эти значения в уравнение, чтобы проверить, является ли одно из них корнем.

1. f(1) = 1^3 - 2*1^2 - 4*1 + 5 = 1 - 2 - 4 + 5 = 0 (1 является корнем)
2. f(-1) = (-1)^3 - 2*(-1)^2 - 4*(-1) + 5 = -1 - 2 + 4 + 5 = 6 (не корень)
3. f(5) = 5^3 - 2*5^2 - 4*5 + 5 = 125 - 50 - 20 + 5 = 60 (не корень)
4. f(-5) = (-5)^3 - 2*(-5)^2 - 4*(-5) + 5 = -125 - 50 + 20 + 5 = -150 (не корень)

Шаг 3: Деление многочлена

Поскольку мы нашли, что x = 1 является корнем, мы можем использовать деление многочлена для нахождения других корней. Мы делим f(x) на (x - 1) с помощью синтетического деления или деления столбиком.

После деления мы получаем:

f(x) = (x - 1)(x^2 - x - 5)

Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение x^2 - x - 5 = 0. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -5.

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-5) = 1 + 20 = 21
• Корни: x = (1 ± √21) / 2

Шаг 5: Запись всех корней

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

• x1 = 1
• x2 = (1 + √21) / 2
• x3 = (1 - √21) / 2

В итоге, корни уравнения f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x + 5: 1, (1 + √21) / 2 и (1 - √21) / 2.