Как можно определить общие и частичные решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка?

1. у" - 2у' - 3у = 0; у(0) = 2, у'(0) = 1
2. у" - 6у' + 9у = 0
3. у" + 2у' + 5у = 0

Математика 11 класс Однородные дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения однородные уравнения решения уравнений математика 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы определить общие и частичные решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка, необходимо следовать определенной методике. Рассмотрим каждый из предложенных примеров.

1. Уравнение: у" - 2у' - 3у = 0

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение. Для этого заменим у, у' и у" на соответствующие производные:

• r^2 - 2r - 3 = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение. Используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Шаг 3: Находим корни уравнения:

• r1 = (2 + sqrt(16)) / 2 = 5 / 2
• r2 = (2 - sqrt(16)) / 2 = -1

Шаг 4: Записываем общее решение:

• у(t) = C1 * e^(5/2 * t) + C2 * e^(-t)

Шаг 5: Теперь применим начальные условия у(0) = 2 и у'(0) = 1 для нахождения частных решений. Подставим у(0):

• у(0) = C1 + C2 = 2

Шаг 6: Найдем производную:

• у'(t) = (5/2) * C1 * e^(5/2 * t) - C2 * e^(-t)

Шаг 7: Подставим у'(0):

• у'(0) = (5/2) * C1 - C2 = 1

Теперь у нас есть система уравнений:

• C1 + C2 = 2
• (5/2) * C1 - C2 = 1

Решив эту систему, мы получим значения C1 и C2.

2. Уравнение: у" - 6у' + 9у = 0

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение:

• r^2 - 6r + 9 = 0

Шаг 2: Решим его:

• D = (-6)^2 - 4 * 1 * 9 = 0

Шаг 3: Корень будет кратным:

• r1 = r2 = 3

Шаг 4: Общее решение:

• у(t) = (C1 + C2 * t) * e^(3t)

3. Уравнение: у" + 2у' + 5у = 0

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение:

• r^2 + 2r + 5 = 0

Шаг 2: Найдем дискриминант:

• D = 2^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16

Шаг 3: Поскольку дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

• r1,2 = -1 ± 2i

Шаг 4: Общее решение будет иметь вид:

• у(t) = e^(-t) * (C1 * cos(2t) + C2 * sin(2t))

Таким образом, для каждого из уравнений мы нашли общее решение. Частные решения можно получить, подставив начальные условия, если они заданы.