Как можно определить первые пять членов ряда Тейлора для функции y = ln(10 + x) в окрестности точки Xo = 0? Пожалуйста, помогите!

Математика 11 класс Ряды Тейлора ряды Тейлора функция ln первые члены ряда математика 11 класс окрестность точки вычисление рядов определение членов ряда Новый

Чтобы определить первые пять членов ряда Тейлора для функции y = ln(10 + x) в окрестности точки Xo = 0, нам нужно следовать нескольким шагам. Ряд Тейлора для функции f(x) в точке a имеет вид:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...

В нашем случае a = 0. Теперь нам нужно находить производные функции f(x) = ln(10 + x) и их значения в точке a = 0.

1. Находим f(0):

f(0) = ln(10 + 0) = ln(10).

2. Находим первую производную f'(x):

f'(x) = 1/(10 + x).

Теперь находим f'(0):

f'(0) = 1/(10 + 0) = 1/10.

3. Находим вторую производную f''(x):

f''(x) = -1/(10 + x)^2.

Теперь находим f''(0):

f''(0) = -1/(10 + 0)^2 = -1/100.

4. Находим третью производную f'''(x):

f'''(x) = 2/(10 + x)^3.

Теперь находим f'''(0):

f'''(0) = 2/(10 + 0)^3 = 2/1000 = 1/500.

5. Находим четвертую производную f''''(x):

f''''(x) = -6/(10 + x)^4.

Теперь находим f''''(0):

f''''(0) = -6/(10 + 0)^4 = -6/10000 = -3/5000.

Теперь у нас есть все необходимые производные:

• f(0) = ln(10)
• f'(0) = 1/10
• f''(0) = -1/100
• f'''(0) = 1/500
• f''''(0) = -3/5000

Теперь можем записать первые пять членов ряда Тейлора:

y = ln(10) + (1/10)(x - 0) + (-1/100)(x - 0)^2/2 + (1/500)(x - 0)^3/6 + (-3/5000)(x - 0)^4/24

Упрощая, получаем:

y = ln(10) + (1/10)x - (1/200)x^2 + (1/3000)x^3 - (1/40000)x^4

Таким образом, первые пять членов ряда Тейлора для функции y = ln(10 + x) в окрестности точки Xo = 0 выглядят следующим образом:

y = ln(10) + (1/10)x - (1/200)x^2 + (1/3000)x^3 - (1/40000)x^4.