Как можно определить сумму x+y, если даны уравнения: √x + √y = 3 и xy = 2?

Математика 11 класс Системы уравнений сумма x+y уравнения √x + √y = 3 xy = 2 решение системы уравнений математика 11 класс Новый

Чтобы найти сумму x + y, используя данные уравнения, давайте сначала запишем их:

• Уравнение 1: √x + √y = 3
• Уравнение 2: xy = 2

Теперь начнем с первого уравнения. Мы можем выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим √y через √x:

√y = 3 - √x

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(√y)² = (3 - √x)²

y = (3 - √x)²

Раскроем скобки:

y = 9 - 6√x + x

Теперь у нас есть выражение для y в терминах x. Подставим это выражение во второе уравнение:

xy = 2

Подставляем y:

x(9 - 6√x + x) = 2

Раскроем скобки:

9x - 6x√x + x² = 2

Теперь перенесем 2 на левую сторону уравнения:

9x - 6x√x + x² - 2 = 0

Это уравнение можно решить, но давайте попробуем другой подход, чтобы найти сумму x + y напрямую.

Из первого уравнения мы можем выразить √x и √y:

• √x = a
• √y = b

Тогда у нас есть:

• a + b = 3
• ab = 2

Теперь мы можем выразить a и b как корни квадратного уравнения:

t² - (a + b)t + ab = 0

Подставим известные значения:

t² - 3t + 2 = 0

Теперь решим это уравнение:

Дискриминант D = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

Корни уравнения:

t = (3 ± √D) / 2 = (3 ± 1) / 2

Таким образом, получаем:

• t1 = 2
• t2 = 1

Это означает, что √x = 2 и √y = 1 или наоборот. Теперь найдем x и y:

• Если √x = 2, то x = 4; если √y = 1, то y = 1.
• Если √x = 1, то x = 1; если √y = 2, то y = 4.

В обоих случаях сумма x + y будет:

x + y = 4 + 1 = 5 или x + y = 1 + 4 = 5.

Таким образом, сумма x + y равна 5.

Ответ: x + y = 5.