Как можно ортогонализировать систему векторов и проверить это для векторов: e1=(3,1,0), e2=(1,-1,0), e3=(0,2,1)?

Математика 11 класс Ортогонализация векторов ортогонализация векторов система векторов проверка ортогональности векторы e1 e2 e3 математика 11 класс Новый

Ортогонализация системы векторов - это процесс преобразования заданной системы векторов в ортогональную систему, где каждый вектор перпендикулярен другим. Мы будем использовать метод Грамма-Шмидта для ортогонализации векторов e1, e2 и e3.

Давайте обозначим векторы:

• e1 = (3, 1, 0)
• e2 = (1, -1, 0)
• e3 = (0, 2, 1)

Теперь применим метод Грамма-Шмидта:

1. Первый вектор: Мы просто берем e1 как первый вектор ортогональной системы:
• u1 = e1 = (3, 1, 0)
2. Второй вектор: Для получения второго вектора u2, нужно вычесть проекцию e2 на u1:
• Проекция e2 на u1 вычисляется по формуле:
• proj_u1(e2) = (e2 • u1) / (u1 • u1) * u1
• Сначала найдем скалярное произведение e2 и u1:
• e2 • u1 = (1 * 3) + (-1 * 1) + (0 * 0) = 3 - 1 + 0 = 2
• Теперь найдем скалярное произведение u1 с самим собой:
• u1 • u1 = (3 * 3) + (1 * 1) + (0 * 0) = 9 + 1 + 0 = 10
• Теперь подставим в формулу проекции:
• proj_u1(e2) = (2 / 10) * (3, 1, 0) = (0.6, 0.2, 0)
• Теперь найдем u2:
• u2 = e2 - proj_u1(e2) = (1, -1, 0) - (0.6, 0.2, 0) = (1 - 0.6, -1 - 0.2, 0) = (0.4, -1.2, 0)
3. Третий вектор: Теперь получим третий вектор u3, вычитая проекции e3 на u1 и u2:
• Сначала найдем проекцию e3 на u1:
• e3 • u1 = (0 * 3) + (2 * 1) + (1 * 0) = 0 + 2 + 0 = 2
• Теперь proj_u1(e3) = (2 / 10) * (3, 1, 0) = (0.6, 0.2, 0)
• Теперь найдем проекцию e3 на u2:
• Сначала найдем скалярное произведение e3 и u2:
• e3 • u2 = (0 * 0.4) + (2 * -1.2) + (1 * 0) = 0 - 2.4 + 0 = -2.4
• Теперь найдем скалярное произведение u2 с самим собой:
• u2 • u2 = (0.4 * 0.4) + (-1.2 * -1.2) + (0 * 0) = 0.16 + 1.44 + 0 = 1.6
• Теперь proj_u2(e3) = (-2.4 / 1.6) * (0.4, -1.2, 0) = (-1.5) * (0.4, -1.2, 0) = (-0.6, 1.8, 0)
• Теперь найдем u3:
• u3 = e3 - proj_u1(e3) - proj_u2(e3) = (0, 2, 1) - (0.6, 0.2, 0) - (-0.6, 1.8, 0) = (0, 2, 1) - (0, 2, 0) = (0, 0, 1)

Теперь у нас есть ортогональная система векторов:

• u1 = (3, 1, 0)
• u2 = (0.4, -1.2, 0)
• u3 = (0, 0, 1)

Теперь проверим, что векторы u1, u2 и u3 ортогональны друг другу, вычисляя их скалярные произведения:

• u1 • u2 = (3 * 0.4) + (1 * -1.2) + (0 * 0) = 1.2 - 1.2 + 0 = 0
• u1 • u3 = (3 * 0) + (1 * 0) + (0 * 1) = 0 + 0 + 0 = 0
• u2 • u3 = (0.4 * 0) + (-1.2 * 0) + (0 * 1) = 0 + 0 + 0 = 0

Все скалярные произведения равны нулю, следовательно, векторы u1, u2 и u3 ортогональны. Мы успешно ортогонализировали систему векторов e1, e2 и e3.