Как можно представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое было максимальным?

Математика 11 класс Оптимизация функции нескольких переменных число 12 сумма двух слагаемых неотрицательные слагаемые произведение куба максимальное произведение задачи по математике оптимизация алгебраические уравнения Новый

Для решения этой задачи нам нужно представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, обозначим их как x и y, где x + y = 12. Мы хотим максимизировать выражение P = x^3 * (2y).

Так как y можно выразить через x, мы можем записать y = 12 - x. Подставим это в наше выражение для P:

P = x^3 * (2(12 - x)) = 2x^3 * (12 - x).

Теперь у нас есть функция P(x) = 2x^3 * (12 - x), которую мы можем упростить:

P(x) = 24x^3 - 2x^4.

Для нахождения максимума этой функции, найдем её производную и приравняем к нулю:

1. Находим производную: P'(x) = 72x^2 - 8x^3.
2. Приравниваем производную к нулю: 72x^2 - 8x^3 = 0.
3. Выносим общий множитель: 8x^2(9 - x) = 0.
4. Решаем уравнение: 8x^2 = 0 или 9 - x = 0.
5. Таким образом, получаем: x = 0 или x = 9.

Теперь проверим, какие значения x и y мы получаем:

• Если x = 0, то y = 12: P(0) = 0.
• Если x = 9, то y = 3: P(9) = 2 * 9^3 * 3 = 2 * 729 * 3 = 4374.

Теперь проверим значение функции P для других значений x, чтобы убедиться, что это максимум:

• Для x = 6: P(6) = 2 * 6^3 * (12 - 6) = 2 * 216 * 6 = 2592.
• Для x = 3: P(3) = 2 * 3^3 * (12 - 3) = 2 * 27 * 9 = 486.
• Для x = 12: P(12) = 0.

Из всех этих значений видно, что максимальное значение P достигается при x = 9 и y = 3.

Таким образом, максимальное произведение куба одного из слагаемых на удвоенное другое достигается при:

x = 9 и y = 3.