Как можно проанализировать функцию y=-x²+5x+4 с использованием производной и создать её график?

Математика 11 класс Исследование функций с помощью производной анализ функции производная функции график функции y=-x²+5x+4 максимумы и минимумы исследование функции нахождение производной построение графика математический анализ функции второй степени Новый

Для анализа функции y = -x² + 5x + 4 с использованием производной, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разобьем процесс на части.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Сначала найдем производную функции y по x. Производная показывает, как изменяется функция в зависимости от x. Для функции y = -x² + 5x + 4 производная будет:

1. Производная от -x² равна -2x.
2. Производная от 5x равна 5.
3. Производная от константы 4 равна 0.

Таким образом, производная функции y будет:

y' = -2x + 5.

Шаг 2: Нахождение критических точек

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:

-2x + 5 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

1. -2x = -5
2. x = 5/2 = 2.5.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = 2.5.

Шаг 3: Определение знаков производной

Теперь мы проверим, как ведет себя производная до и после критической точки, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом.

• Для x < 2.5, например, x = 0: y' = -2(0) + 5 = 5 (положительное значение).
• Для x > 2.5, например, x = 3: y' = -2(3) + 5 = -1 (отрицательное значение).

Поскольку производная положительна до точки x = 2.5 и отрицательна после, это означает, что в x = 2.5 находится максимум функции.

Шаг 4: Нахождение значения функции в критической точке

Теперь найдем значение функции в критической точке:

y(2.5) = -(2.5)² + 5(2.5) + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25.

Таким образом, максимальная точка функции: (2.5, 10.25).

Шаг 5: Построение графика функции

Теперь мы можем построить график функции. Для этого важно учитывать следующие моменты:

• Функция является параболой, открывающейся вниз (коэффициент при x² отрицательный).
• Максимум находится в точке (2.5, 10.25).
• Найдем дополнительные точки для построения графика. Например, подставим x = 0 и x = 5:
• y(0) = 4;
• y(5) = -1.

Собрав все точки (0, 4), (2.5, 10.25), (5, -1), можно построить график функции, соединив их плавной кривой.

Таким образом, мы проанализировали функцию y = -x² + 5x + 4 с помощью производной и построили её график, выявив, что она имеет максимум в точке (2.5, 10.25).