Как можно разложить выражение (3в+1)⁴, используя формулу бинома Ньютона?

Математика 11 класс Бином Ньютона разложение выражения формула бинома Ньютона математика 11 класс биномиальная теорема алгебраические выражения Новый

Чтобы разложить выражение (3в + 1)⁴ с помощью формулы бинома Ньютона, нам нужно воспользоваться следующей формулой:

(a + b)ⁿ = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k),

где:

• Σ - символ суммы, который указывает на то, что мы будем суммировать все члены от k = 0 до n,
• C(n, k) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
• a и b - это слагаемые, которые мы складываем (в нашем случае a = 3в, b = 1),
• n - это степень, в которой мы возводим (в нашем случае n = 4).

Теперь подставим наши значения в формулу:

Мы имеем:

• a = 3в,
• b = 1,
• n = 4.

Теперь мы можем записать разложение:

(3в + 1)⁴ = Σ (C(4, k) * (3в)^(4-k) * 1^k), где k = 0, 1, 2, 3, 4.

Теперь вычислим каждый член суммы:

1. Для k = 0:
• C(4, 0) = 1,
• (3в)⁴ = 81в⁴,
• Член: 1 * 81в⁴ * 1 = 81в⁴.
2. Для k = 1:
• C(4, 1) = 4,
• (3в)³ = 27в³,
• Член: 4 * 27в³ * 1 = 108в³.
3. Для k = 2:
• C(4, 2) = 6,
• (3в)² = 9в²,
• Член: 6 * 9в² * 1 = 54в².
4. Для k = 3:
• C(4, 3) = 4,
• (3в)¹ = 3в,
• Член: 4 * 3в * 1 = 12в.
5. Для k = 4:
• C(4, 4) = 1,
• (3в)⁰ = 1,
• Член: 1 * 1 * 1 = 1.

Теперь мы можем собрать все члены вместе:

(3в + 1)⁴ = 81в⁴ + 108в³ + 54в² + 12в + 1.

Таким образом, разложение выражения (3в + 1)⁴ по формуле бинома Ньютона дает нам:

81в⁴ + 108в³ + 54в² + 12в + 1.