Как можно решить неравенство abs(x^2+x) < abs(x^2+3x+2)?

Математика 11 класс Неравенства с модулями неравенство решение неравенства математика 11 класс абсолютные значения x^2+x x^2+3x+2 математические методы алгебра графический метод свойства неравенств Новый

Для решения неравенства abs(x^2+x) < abs(x^2+3x+2) необходимо рассмотреть два случая, так как абсолютные значения могут принимать разные формы в зависимости от знака выражений внутри них.

Сначала упростим выражения внутри абсолютных значений:

• Первое выражение: abs(x^2 + x) = abs(x(x + 1))
• Второе выражение: abs(x^2 + 3x + 2) = abs((x + 1)(x + 2))

Теперь мы можем рассмотреть два случая для неравенства:

1. Случай 1: x^2 + x >= 0 и x^2 + 3x + 2 >= 0
2. Случай 2: x^2 + x < 0 и x^2 + 3x + 2 < 0

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: x^2 + x >= 0 и x^2 + 3x + 2 >= 0

В этом случае неравенство принимает вид:

x^2 + x < x^2 + 3x + 2

Упростим его:

x < 3x + 2

или

0 < 2x + 2

или

0 < 2(x + 1)

Это неравенство выполняется, когда x > -1.

Теперь найдем, при каких x выполняются условия x^2 + x >= 0 и x^2 + 3x + 2 >= 0.

• x^2 + x >= 0: x(x + 1) >= 0, что дает x <= -1 или x >= 0.
• x^2 + 3x + 2 >= 0: (x + 1)(x + 2) >= 0, что дает x <= -2 или x >= -1.

Таким образом, в этом случае мы имеем:

x >= 0 (требуется для первого неравенства) и x > -1 (требуется для второго неравенства).

Объединяя условия, получаем: x >= 0.

Случай 2: x^2 + x < 0 и x^2 + 3x + 2 < 0

В этом случае неравенство принимает вид:

- (x^2 + x) < - (x^2 + 3x + 2)

или

-x^2 - x < -x^2 - 3x - 2

Упростим его:

-x < -3x - 2

или

2x < -2

или

x < -1.

Теперь найдем, при каких x выполняются условия x^2 + x < 0 и x^2 + 3x + 2 < 0.

• x^2 + x < 0: x(x + 1) < 0, что дает -1 < x < 0.
• x^2 + 3x + 2 < 0: (x + 1)(x + 2) < 0, что дает -2 < x < -1.

Таким образом, в этом случае мы не можем найти x, так как условия не пересекаются.

Итог

Объединяя все найденные условия, мы получаем, что решением неравенства abs(x^2+x) < abs(x^2+3x+2) является:

x >= 0.