Как можно решить неравенство (|x^2-9|+sqrt(x^2-8x+15))/(x^2-16) >= 0?

Математика 11 класс Неравенства с модулями и иррациональными выражениями решение неравенства математические неравенства алгебраические выражения квадратные корни модуль свойства неравенств анализ функции Новый

Для решения неравенства (|x^2-9|+sqrt(x^2-8x+15))/(x^2-16) >= 0 мы будем рассматривать числитель и знаменатель отдельно.

1. **Определим область определения**: Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому решим уравнение x^2 - 16 = 0.

• Это уравнение имеет корни x = 4 и x = -4.

Таким образом, x ≠ 4 и x ≠ -4.

2. **Рассмотрим числитель**: Нам нужно, чтобы |x^2 - 9| + sqrt(x^2 - 8x + 15 >= 0.

Сначала упростим sqrt(x^2 - 8x + 15).

• Мы можем разложить это выражение: x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5).
• Таким образом, sqrt(x^2 - 8x + 15) >= 0 для всех x, кроме тех, где подкоренное выражение становится отрицательным.

Найдем корни: x = 3 и x = 5. Это означает, что x^2 - 8x + 15 >= 0 для x <= 3 или x >= 5.

3. **Теперь рассмотрим |x^2 - 9|**: Это выражение будет равно x^2 - 9 для x^2 - 9 >= 0 и -(x^2 - 9) для x^2 - 9 < 0.

• Корни уравнения x^2 - 9 = 0: x = 3 и x = -3.
• Таким образом, |x^2 - 9| = x^2 - 9 для x <= -3 или x >= 3, и |x^2 - 9| = -(x^2 - 9) для -3 < x < 3.

4. **Объединим результаты**: Теперь мы можем рассмотреть разные интервалы, чтобы найти, когда (|x^2 - 9| + sqrt(x^2 - 8x + 15) >= 0.

• Для x < -4: |x^2 - 9| = x^2 - 9 и sqrt(x^2 - 8x + 15 >= 0, следовательно, выражение >= 0.
• Для -4 < x < -3: |x^2 - 9| = x^2 - 9 и sqrt(x^2 - 8x + 15 >= 0, следовательно, выражение >= 0.
• Для -3 < x < 3: |x^2 - 9| = -(x^2 - 9), но sqrt(x^2 - 8x + 15 >= 0, здесь выражение может быть отрицательным.
• Для x = 3 и x = 5: |x^2 - 9| + sqrt(x^2 - 8x + 15) = 0, следовательно, это точки, где неравенство выполняется.
• Для x > 5: |x^2 - 9| = x^2 - 9 и sqrt(x^2 - 8x + 15 >= 0, следовательно, выражение >= 0.

5. **Объединим все интервалы**: Итоговые интервалы, где неравенство выполняется, будут:

• x < -4
• -4 < x <= -3
• x = 3
• x = 5
• x > 5

Таким образом, ответ: x ∈ (-∞, -4) ∪ (-4, -3] ∪ {3} ∪ {5} ∪ (5, +∞).