Как можно решить следующие квадратные уравнения:

1. x^4 - 5x^2 + 6 = 0
2. -4x^4 + 16x^2 = 0
3. x^4 - 16 = 0

Пожалуйста, решите их.

Математика 11 класс Квадратные уравнения и их решения решение квадратных уравнений математические задачи x^4 уравнения алгебраические уравнения методы решения уравнений Новый

Давайте рассмотрим каждое из предложенных квадратных уравнений и решим их по шагам.

1. Уравнение: x^4 - 5x^2 + 6 = 0

Это уравнение можно решить, сделав замену переменной. Обозначим:

• y = x^2.

Тогда уравнение преобразуется в:

• y^2 - 5y + 6 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

• y1 = (5 + √D) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3;
• y2 = (5 - √D) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2.

Теперь возвращаемся к переменной x:

• x^2 = 3 => x = ±√3;
• x^2 = 2 => x = ±√2.

Таким образом, корни уравнения:

• x = √3, -√3, √2, -√2.

2. Уравнение: -4x^4 + 16x^2 = 0

Сначала упростим уравнение, вынеся общий множитель:

• -4x^2(x^2 - 4) = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

• -4x^2 = 0 => x^2 = 0 => x = 0;
• x^2 - 4 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2.

Таким образом, корни уравнения:

• x = 0, 2, -2.

3. Уравнение: x^4 - 16 = 0

Это уравнение можно решить, заметив, что оно представляет собой разность квадратов:

• x^4 - 4^2 = 0.

Формула разности квадратов g^2 - h^2 = (g - h)(g + h) позволяет нам факторизовать уравнение:

• (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0.

Теперь решим каждое из множителей:

• x^2 - 4 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2;
• x^2 + 4 = 0 => x^2 = -4 => x = ±2i (комплексные корни).

Таким образом, корни уравнения:

• x = 2, -2, 2i, -2i.

Теперь у нас есть все корни для каждого из уравнений:

• Для первого уравнения: √3, -√3, √2, -√2.
• Для второго уравнения: 0, 2, -2.
• Для третьего уравнения: 2, -2, 2i, -2i.