Для решения уравнения (4x - x^2 - 3) * √(5x - 8) = 0, мы можем воспользоваться тем фактом, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, нам нужно решить два отдельных уравнения:

1. 4x - x^2 - 3 = 0
2. √(5x - 8) = 0

Теперь давайте решим каждое из этих уравнений по порядку.

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

-x^2 + 4x - 3 = 0

Умножим обе стороны на -1, чтобы упростить решение:

x^2 - 4x + 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы решения квадратного уравнения x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -4, c = 3.

• Сначала найдем дискриминант D:
• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:

• x1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3
• x2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, мы получили два корня: x1 = 3 и x2 = 1.

Теперь решим второе уравнение. Для этого возведем обе стороны в квадрат:

5x - 8 = 0.

Теперь выразим x:

5x = 8

x = 8 / 5 = 1.6.

Таким образом, мы нашли еще один корень: x = 1.6.

• x1 = 3
• x2 = 1
• x3 = 1.6

Теперь давайте проверим, являются ли найденные корни допустимыми, учитывая, что под корнем должно быть неотрицательное значение:

• Для x = 3: 5*3 - 8 = 15 - 8 = 7 (положительное)
• Для x = 1: 5*1 - 8 = 5 - 8 = -3 (отрицательное, не подходит)
• Для x = 1.6: 5*1.6 - 8 = 8 - 8 = 0 (положительное)

Таким образом, допустимыми корнями являются:

• x = 3
• x = 1.6

Ответ: x = 3 и x = 1.6.