Как можно решить уравнение (x+y)/(x-y)+(x-y)/(x+y)=2024 и определить значение выражения (x^2+y^2)/(x^2-y^2)+(x^2-y^2)/(x^2+y^2)?

Математика 11 класс Решение уравнений и неравенств уравнение решение уравнения математика 11 класс алгебра дробные выражения значение выражения x и y математические задачи сложные уравнения математические выражения Новый

Для решения уравнения (x+y)/(x-y)+(x-y)/(x+y)=2024 начнем с упрощения левой части уравнения. Объединим дроби:

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет (x-y)(x+y).
2. Запишем дроби с общим знаменателем:
• (x+y)^2 + (x-y)^2
3. Теперь упростим числитель:
• (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
• (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
4. Сложим эти выражения:
• (x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2
5. Теперь подставим это в уравнение:
• (2x^2 + 2y^2) / ((x-y)(x+y)) = 2024
6. Упростим это выражение:
• 2(x^2 + y^2) / (x^2 - y^2) = 2024
7. Умножим обе стороны на (x^2 - y^2):
• 2(x^2 + y^2) = 2024(x^2 - y^2)
8. Разделим обе стороны на 2:
• x^2 + y^2 = 1012(x^2 - y^2)
9. Переносим все в одну сторону:
• 1012x^2 - x^2 - 1012y^2 - y^2 = 0
10. Упрощаем:
• (1011x^2 - 1013y^2) = 0
11. Отсюда получаем соотношение:
• 1011x^2 = 1013y^2
12. Таким образом, можно выразить x через y или наоборот.

Теперь перейдем к вычислению выражения (x^2+y^2)/(x^2-y^2)+(x^2-y^2)/(x^2+y^2). Подобным образом, объединим дроби:

1. Общий знаменатель будет (x^2-y^2)(x^2+y^2).
2. Запишем дроби с общим знаменателем:
• (x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2
3. Упростим числитель:
• (x^2+y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4
• (x^2-y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4
4. Сложим эти выражения:
• (x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (x^4 - 2x^2y^2 + y^4) = 2x^4 + 2y^4
5. Теперь подставим это в выражение:
• (2(x^4 + y^4)) / ((x^2-y^2)(x^2+y^2))
6. Упрощаем:
• 2(x^4 + y^4) / (x^4 - y^4) = 2

Таким образом, значение выражения (x^2+y^2)/(x^2-y^2)+(x^2-y^2)/(x^2+y^2) равно 2.

1 2 3 4 5